¿Existe algún libro donde pueda encontrar teoría sobre el límite superior y el límite inferior, además de una buena cantidad de ejercicios con el mismo espíritu que los de Spivak?
No te entiendo PS, ¿o sí?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Si lo que buscas son ejercicios:
Le sugiero que busque el libro de tres volúmenes: Problemas en Matemáticas Análisis por W J Kaczor y M T Nowak , Universidad Marie Curie-Sklodowska, Lublin, Polonia . Lo publica la American Mathematical Society.
Se puede acceder al índice desde la página de enlaces a la MGA aquí.
- El primer volumen trata de los números reales; secuencias y series. Este libro es un comienzo ideal para un primer curso de análisis. Increíble colección de problemas. Hay muchos retos. Algunos de los problemas conocidos (léase: difíciles) se dan como ejercicios aquí. Pero, la maquinaria necesaria se construye complementando esto con pequeños problemas de juguete. He aprendido mucho con este libro.
Problemas elegidos al azar del Vol. I:
$\hskip{1.8 in}$ 
- El segundo volumen trata de la Continuidad y Diferenciabilidad de las funciones de valor real. El énfasis en las funciones semicontinuas; las funciones del tipo de Dirichlet son sorprendentes. Algunos ejercicios agradables como aplicaciones del Teorema del Valor Medio. Hay muchas ideas interesantes en este libro.
Problemas elegidos al azar del Vol. II:
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- El tercer volumen abarca la teoría de las integrales de Riemann y Lebesgue. La colección de problemas es más rica de lo que se ve en cualquier libro de texto. Además, están muy bien ordenados.
Página al azar del Vol. III: (Cortesía: el usuario t.b. )
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Hay soluciones que dan pistas sobre lo que se necesita para completar los problemas. (Yo vería las soluciones como completas; pero hace referencia a ejercicios anteriores y acabarás trazando una cadena si no coges las pistas que hay).
P.D. (Las ediciones indias cuestan 800 rupias cada volumen. Buscando con ahínco se consiguen estos libros en alguna parte...)
Frangello
Puntos
21
Los dos primeros volúmenes de Kaczor/Nowak contienen un gran número de ejercicios de este tipo. Además, el libro clásico de McShane sobre la integración de Lebesgue ofrece un tratamiento bien escrito y pausado. En Estados Unidos, al menos, se puede encontrar el texto de McShane en la mayoría de las bibliotecas universitarias.
Kaczor/Nowak, Problemas de análisis matemático Volúmenes 1 y 2, American Mathematical Society.
Edward James McShane, Integración Princeton Mathematical Series, 1944, viii + 394 páginas. [Mi copia es la octava impresión de 1974].
(añadido al día siguiente) Después de ver el libro de McShane, estoy de acuerdo con los comentarios que escribí ayer. Da una discusión muy bien escrita de $\limsup$ y $\liminf$ para las funciones en el artículo 6 (pp. 26-38). Además, el artículo 7 (pp. 38-44) está muy bien hecho. A continuación encontrará otros 3 libros que podrían resultarle útiles (a la luz de su comentario "ejercicios del tipo de Spivak"), pero que no se dedican específicamente a $\limsup$ y $\liminf$ para las funciones (al menos, no juntas en una sección).
Ralph Philip Boas, Una introducción a las funciones reales , 4ª edición preparada por Harold Philip Boas, Mathematical Association of America, 1996, xiv + 305 páginas.
Andrew Michael Bruckner, Judith Brostoff Bruckner y Brian S. Thomson, Análisis real elemental , Prentice-Hall, 2001, xvi + 677 + 58 páginas. [Las últimas 58 páginas consisten en apéndices: (A) Antecedentes, (B) Sugerencias para ejercicios seleccionados, (C) Índice de materias].
Edgar Terome Townsend, Funciones de variables reales Henry Holt and Company, 1928, xii + 405 páginas.
Por último, los lectores más avanzados de este hilo pueden estar interesados en el siguiente documento, que da (en las páginas 429-430) algunas relaciones que implican iteraciones mixtas de las operaciones $\limsup$ y $\liminf$ de una función en un punto.
Robert Palmer Dilworth, La terminación normal de la red de funciones continuas Transactions of the American Mathematical Society 68 (1950), 427-438.
http://www.ams.org/journals/tran/1950-068-03/S0002-9947-1950-0034822-9/
Ah, veo que Kannappan Sampath también recomendó los libros de Kaczor/Nowak mientras yo preparaba mi respuesta. Realmente creo que son exactamente lo que usted (Peter T.off) está buscando, pero si una biblioteca cercana tiene el libro de McShane, tal vez quiera mirarlo también.
@Kannappan Sampath: No, Integración unificada es un libro muy posterior (unos 40 años después) que trata de la integral de Riemann generalizada (integral de Henstock-Kurzweil). El libro de McShane de 1947 fue escrito para estudiantes de primer año de postgrado en análisis real (a finales de la década de 1940), pero gran parte del material se presenta a un ritmo relativamente pausado (para los estándares de hoy en día), e incluye una gran cantidad de material de fondo introductorio y en su mayoría autocontenido (que incluye la $\limsup$ y $\liminf$ temas).
Avi Flax
Puntos
14898
Bueno, cualquier buen texto de análisis tendrá una discusión al respecto, Peter. Personalmente me gusta la discusión en el libro de Angus Taylor Teoría general de las funciones y de la integración que está en Dover y tiene muchos ejercicios excelentes. Pero en realidad, cualquier buen texto de análisis servirá.
Pues no lo he encontrado ni en el de Spivak ni en el de Apostol, por eso lo pregunto. Gracias por la referencia.
@Peter ¿Has probado el ANÁLISIS MATEMÁTICO de Apostol en lugar de su texto de cálculo? Este es realmente un concepto más sofisticado que el que se suele encontrar en cualquier texto de cálculo, incluso los más avanzados.
