Estoy trabajando en una pregunta de deberes y estoy atascado. La pregunta es:
Sea $A$ y $B$ sea $2n \times 2n$ matrices racionales con $A^2=B^2=-I$ .
La primera parte de la pregunta pide demostrar que $A$ y $B$ son similares, y que la matriz de transición es racional. Creo que lo he hecho. Sin embargo, es esta segunda parte la que me tiene perplejo:
Supongamos que $A$ y $B$ tienen coeficientes enteros. ¿Podemos suponer que $C$ y $C^{-1}$ ( $C$ es la matriz de transición) también tienen coeficientes enteros?
La pista dada fue convertir $\mathbb{Z}^{2n}$ en un $\mathbb{Z}[x]$ -módulo.
Aunque estoy seguro de que hay otros métodos para hacer esto, estoy interesado en seguir la dirección de la pista, parece un método interesante, y me gustaría mejorar en el uso de la teoría de módulos como una herramienta práctica.
Lo que he hecho hasta ahora: Así que para empezar, con el fin de hacer $\mathbb{Z}^{2n}$ en un $\mathbb{Z}[x]$ -necesitamos un mapa lineal. Pero parece que hay una opción muy natural en este caso, a saber, el mapa $T$ subyacentes a las matrices similares $A$ y $B$ . Sin embargo, no estoy seguro de por dónde seguir. Lo único que se me ocurre es utilizar el teorema de la estructura para módulos finitamente generados sobre un PID, pero $\mathbb{Z}[x]$ no es un PID, por lo que no funcionará.
