La finitud residual de los grupos de grafos

Question

¿Existe una simple prueba de que los grupos de gráficas tridimensionales tienen grupos fundamentales finitos residuales?

Por "simple" me refiero a la prueba de que no se utiliza ninguna topología 3d duro. Me importa porque deseo generalizar esto a análogos de dimensiones superiores de los colectores de gráficos.

Answer 1

Tan lejos como soy consciente de que, cada prueba de este hecho es esencialmente el mismo como Hempel de la prueba original. No sé si lo de "simple" suficiente para usted! El punto clave es que el grupo fundamental de la G de un Seifert-fibred pieza tiene la siguiente propiedad.

De la propiedad. Existe un entero K tal que para cualquier entero positivo n, existe un número finito de índice subgrupo normal de G_n de G tales que cualquier periférico subgrupo P intersecta G_n en el Pnk.

No es demasiado difícil de probar. Hay una buena cuenta en un papel de Emily Hamilton (que generaliza Hempel del resultado).

El otro hecho importante es que los periféricos subgrupos en Seifert-fibred colector de grupos son separables (es decir, cerrado en la profinite topología, para cualquier no-expertos).

El uso de estas dos piezas de información, se puede armar finito de coeficientes de Seifert-fibred las piezas en una prácticamente libre cociente de π₁ de la gráfica colector en el que su favorito elemento no morir.

Nota sobre la divisibilidad de la periférica de los subgrupos. Por supuesto, Scott demostró que Seifert-fibred colector de grupos LERF. Pero, por un bonito argumento de Largo y Niblo, un subgrupo es separable si y sólo si, el doble de lo residual finito. En particular, se puede deducir periféricos de la divisibilidad de la más fácil el hecho de que Seifert-fibred colector de grupos residual finito.