Si$\mathbb{P}$ es un parámetro separativo que no añade$\theta$ - secuencias entonces cada intersección de$\theta$ densa conjuntos abiertos es densa en$\mathbb{P}$

Question

Estoy en busca de una pista (no es solución) para el ejercicio IV.7.28 de Kunen de la Teoría de conjuntos libro (2013). Recordemos que un poset $\mathbb{P}$ es de separación si para cada $p,q\in \mathbb{P}$, $p\nleq q$ implica $\exists s\in \mathbb{P}$ tal que $s\leq p$$s\perp q$. El ejercicio es como sigue:

Deje $M$ ser un mc de ZFC, vamos a $\mathbb{P}$ ser un poset en $M$ $\theta$ a un cardenal en $M$. Demostrar que (1)$\implies$(2) y (2)$\implies$(1) si $P$ es de separación:

(1) En $\mathbb{P}$, en cada intersección de $\theta$ densos bloques abiertos es denso en $\mathbb{P}$.

(2) $\mathbb{P}$ no $\theta$-secuencias.

El ejercicio le pide al lector a interpretar estas declaraciones en el enfoque de mc. La manera en que yo veo es que $\mathbb{P}$ no $\theta$-secuencias si por cualquier $G$ $\mathbb{P}$- genérico más de $M$ y cada una de las $f\in M[G]$ con dom($f$)=$\theta$ y corrió($f$)$\subseteq M$ sostiene que la $f\in M$.

Ahora, mi intento de (1)$\implies$(2), inspirado por la prueba del lema IV.7.15, es la siguiente: Vamos a $f$ ser arriba y recoger $\dot{f}$ un nombre para $f$, queremos ver que $f\in M$. Para cada $\alpha<\theta$, vamos a $e_\alpha\in M$ ser tal que $M[G]\models \dot{f}(\alpha)=e_\alpha$ y deje $A_\alpha=\{p\in\mathbb{P} : p\Vdash \dot{f}(\alpha)=e_\alpha\}$. El problema, claro, es que el $A_\alpha$ no necesita ser denso en $\mathbb{P}$ (de hecho, puede ser un $q\in \mathbb{P}$ tal que $q\Vdash \dot{f}(\alpha)\neq e_\alpha$). Pero creo que este problema podría ser resuelto si puedo tomar

$A_\alpha=\{p\in\mathbb{P} : p\Vdash \dot{f}(\alpha)=e_\alpha\}\cup\{p\in\mathbb{P} :\exists q\in\mathbb{P}(p\perp q\land q\Vdash \dot{f}(\alpha)=e_\alpha) \}$

y, a continuación, utilizar (1) para encontrar un elemento de la intersección que también se encuentra en $G$.

Sin embargo, no tengo ni idea de qué hacer al respecto (2)$\implies$(1) si $\mathbb{P}$ es de separación. Mi planteamiento inicial era coger $\{A_\alpha : \alpha < \theta\}$ una familia de densos bloques abiertos y, a continuación, suponga que hay un $p\in\mathbb{P}$ tal que para ningún elemento $q\in\bigcap_{\alpha<\theta}A_\alpha$ do tenemos $q\leq p$. Para cada $\alpha<\theta$ I entonces tomaría $b_\alpha\in A_\alpha$ tal que $b_\alpha\leq p$. Pero no estoy seguro de cómo proceder, desde allí, o donde usar el hecho de que $\mathbb{P}$ es de separación.

Answer 1

Con respecto a la primera implicación, la familia $\langle A_\alpha:\alpha<\theta\rangle$ ha definido no necesariamente pertenecen a $M$ debido a que utiliza $f$ a definir. ¿Por qué no intentar en lugar de $A_\alpha:=\{p\in\Bbb P:$ algunos $e\in M, p\Vdash \dot f(\check\alpha)=\check e\}$. Demostrar que $\langle A_\alpha:\alpha<\theta\rangle\in M$.

Ahora, para la segunda implicación, si $U_\alpha$ es un abierto denso subconjunto de $\mathbb P$ por cada $\alpha<\theta$, elija para todos los $\alpha<\theta$ un antichain $A_\alpha\subseteq U_\alpha$ y considerar el nombre de $\dot f=\{((\check \alpha,\check r),r):\alpha<\theta,r\in A_\alpha\}$.Compruebe que $\Bbb 1\Vdash``\dot f$ es una función de $\check\theta$ a $\check{\Bbb P}"$. Entonces, si usted escoge una arbitraria $p\in\Bbb P$, demostrar que hay algo de $q\leq p$ $h:\theta\rightarrow\Bbb P$ $M$ tal que $q\Vdash \dot f=\check h$. A continuación, pregúntese por qué la separación de $\Bbb P$ implica $q\in\bigcap_{\alpha<\theta} U_\alpha$.