Permitir$a,b \in {\mathbb{Z_+}}$ tal que$a|b^2, b^3|a^4, a^5|b^6, b^7|a^8 \cdots$, Prove$a=b$

Question

Permitir que$a,b \in {\mathbb{Z_+}}$ tal que$$a|b^2, b^3|a^4, a^5|b^6, b^7|a^8 \cdots$ $

Probar $a=b$

Answer 1

Considere las factorizaciones prime de$a = \prod_p p^{\nu_p(a)}$ y$b = \prod_p p^{\nu_p(b)}$. Sus hipótesis producen

• $\nu_p(a) \le \nu_p(b^2) = 2\nu_p(b)$ para cada $p$
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• $3\nu_p(b) \le 4\nu_p(a)$ para cada $\ldots$, $(4n+1)\nu_p(a) \le (4n+2)\nu_p(b)$
• $p$, Cada uno$n$,$(4n+3)\nu_p(b) \le (4n + 4)\nu_p(a)$

Por lo tanto, tenemos para cada una de las siguientes opciones: $p$% #% $$ \ frac {4n 3} {4n 4} \ cdot \ nu_p (b) \ le \ nu_p 2} {4n 1} \ nu_p (b) $$ que permite$n$ yields$p$ para cada$n$, así que$n\to \infty$.

AB,

Answer 2

Si$a > b$ entonces$\frac{a}{b}>1$ y por lo tanto hay un$n$ tal que$\left(\frac{a}{b}\right)^n > b$, así$a^n > b^{n+1}$. Esto contradice$a^{4k+1} | b^{4k+2}$. El caso$a<b$ funciona de la misma manera.

Answer 3

Sea$p$ un primo, y suponga$p^7$ divide$a$, pero$p^8$ no lo hace. Entonces de$a^9\mid b^{10}$ puede deducir$p^7\mid b$ (¿por qué?). Ahora si$p^8\mid b$, entonces de$b^{11}\mid a^{12}$ obtendrías$p^8\mid a$ (por qué?), Contradicción. El mismo poder de$p$ divide$a$ y$b$.

¿Puedes ver cómo generalizar este argumento?

Answer 4

Sugerencia $\rm\ \ \forall n\in\mathbb N:\ \ a\:\!\left(\dfrac{a}b\right)^{4n+3}\!\in\mathbb Z,\:\ b\:\!\left(\dfrac{b}a\right)^{4n+1}\!\in \mathbb Z\ \ \Rightarrow\ \dfrac{a}b,\:\dfrac{b}a\in\mathbb Z\ \ \Rightarrow\ \ a = \pm b\ \ \ $ QED

Comentario $\ $ Esto es cierto mucho más general. Supongamos $\rm\:D\:$ es cualquier Noetherian integralmente cerrado de dominio, por ejemplo, cualquier PID. Supongamos que $\rm\:w\:$ es una fracción más de $\rm\:D\:$, que algunos ilimitado de la secuencia de potencias de $\rm\:w\:$ tiene un común denominador $\rm\:0 \ne d\in D,\:$ es decir $\rm\:d\!\:w^{n_i}\in D\:$ todos los $\rm\:n_i.\:$ $\rm\:w\in D.$

Prueba de $\ $ ACC la secuencia de los ideales de la $\rm (d, dw^{n_1}, dw^{n_2},\ldots)$ eventualmente se estabiliza, lo que implica que para algunos $\rm\:k\:$ tenemos $\rm\: dw^{n_k}\in (dw^{n_{k-1}},\ldots, dw^{n_1}, d),\:$, lo que implica

$$\rm d\: w^{n_k} + c_{n_{k-1}} d\: w^{n_{k-1}} +\:\! \cdots +\: c_{n_1} d\: w^{n_1} + d\: =\: 0$$

La cancelación de $\rm\:d\:$ rendimientos $\rm\:w\:$ integral $\rm\:D,\:$ por lo tanto $\rm\:w\in D,\:$ desde $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado. $\ $ QED

Elementos cuyos poderes tienen un denominador común se llama casi integral. Es claro que los elementos que forman parte son casi integral. Lo anterior demuestra que lo contrario es cierto en Noetherian dominios.