Dejemos que $M$ sea un punto arbitrario situado dentro del triángulo $ABC$ . Demostrar que $\cot\angle MAB + \cot\angle MBC + \cot\angle MCA \geq 3\sqrt{3}$

Question

Dejemos que $M$ sea un punto arbitrario situado dentro del triángulo $ABC$ . Demostrar que $$\cot\measuredangle MAB + \cot\measuredangle MBC + \cot\measuredangle MCA \geq 3\sqrt{3}$$

Answer 1

Supongamos que: $$M=\alpha A+\beta B+\gamma C,\quad \alpha,\beta,\gamma\geq 0,\;\alpha+\beta+\gamma=1, $$ es decir, que $[\alpha,\beta,\gamma]$ sean las coordenadas baricéntricas de $M$ . La línea que atraviesa $M$ y $A$ tiene la ecuación $\gamma y-\beta z=0$ mientras que la línea que pasa por $A$ y $B$ tiene la ecuación $z=0$ . Por corolario $18$ de Volonec , $$\cot\widehat{MAB} = \cot A+(\cot A+\cot B)\,\frac{\beta}{\gamma}$$ por lo tanto: $$\cot\widehat{MBC} = \cot B+(\cot B+\cot C)\,\frac{\gamma}{\alpha}$$ $$\cot\widehat{MCA} = \cot C+(\cot C+\cot A)\,\frac{\alpha}{\beta}$$ y el problema se reduce a demostrarlo: $$ \left(1+\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\gamma}\right)\cot A+\left(1+\frac{\beta}{\gamma}+\frac{\gamma}{\alpha}\right)\cot B+\left(1+\frac{\gamma}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}\right)\cot C \geq 3\sqrt{3}.$$

Answer 2

Dejemos que $A_1,B_1,C_1$ sean los puntos de intersección de $AM,BM,CM$ con $BC,CA,AB$ respectivamente, y dejemos que $D,E,F$ sean los pies de las perpendiculares de $M$ a $BC,CA,AB$ respectivamente.Entonces tenemos \begin{align*} \cot \angle MAB+\cot \angle MBC+\cot \angle MCA&=\dfrac {FA} {FM}+\dfrac {BD} {MD}+\dfrac {CE} {ME} \\ &=\sqrt{\dfrac {MA^2} {FM^2}-1}+\sqrt{\dfrac {MB^2} {MD^2}-1}+\sqrt{\dfrac {MC^2} {ME^2}-1}\\ &\ge \sqrt{\dfrac {MA^2} {MC_1^2}-1}+\sqrt{\dfrac {MB^2} {MA_1^2}-1}+\sqrt{\dfrac {MC^2} {MB_1^2}-1} \end{align*} Utilizando Teorema de Van Aubel tenemos $$\dfrac {MA} {MA_1}=\dfrac {AC_1} {C_1B}+\dfrac {AB_1} {B_1C}$$ $$\dfrac {MB} {MB_1}=\dfrac {BA_1} {A_1C}+\dfrac {BC_1} {C_1A}$$ $$\dfrac {MC} {MC_1}=\dfrac {CB_1} {B_1A}+\dfrac {CA_1} {A_1B}$$ Multiplicando estos y aplicando la desigualdad AmGm obtenemos $$AM\cdot BM\cdot CM\ge 8MA_1 \cdot MB_1\cdot MC_1$$ Dejemos que $\dfrac {MA} {MC_1}=a,\dfrac {MB} {MA_1}=b,\dfrac {MC} {MB_1}=c $ por lo que basta con demostrar $$\sqrt{a^2-1}+\sqrt{b^2-1}+\sqrt{c^2-1}\ge 3\sqrt3$$ donde $$a\ge1,b\ge1,c\ge1,abc\ge8$$ Esta es una consecuencia inmediata de la desigualdad de Jensen

Answer 3

$\cot A+\cot B+\cot C\ge \sqrt3 \ $ y $\ \sin A\cdot \sin B\cdot \sin C\le \dfrac {3\sqrt3} 8$

son desigualdades bien conocidas

$(1+\dfrac {\alpha} {\beta} +\dfrac {\beta} {\gamma})\cot A+(1+\dfrac {\beta} {\gamma} +\dfrac {\gamma} {\alpha})\cot B+(1+\dfrac {\gamma} {\alpha} +\dfrac {\alpha} {\beta})\cot C= \\ $

$\displaystyle\sum_{cyc}\cot A+\sum_{cyc}\dfrac {\alpha} {\beta} \cdot \dfrac {\sin B} {\sin A\cdot \sin C} \ge \sqrt3 +3\dfrac 1 {\left(\sin A\cdot \sin B\cdot \sin C\right)^{\frac 1 3}}\ge \sqrt3 +2\sqrt3=3\sqrt3$