¿Por qué es infinito multiplicado por cero no es un fácil cero respuesta?

Question

Hice un poco de matemáticas en la escuela y parece fácil - ¿qué me estoy perdiendo?

$$n\times m = \underbrace{n+n+\cdots +n}_{m\text{ times}}$$

$$\quad n\times 0 = \underbrace{0 + 0 + \cdots+ 0}_{n\text{ times}} = 0$$

(me.e incorporación de $0$ $0$tantas veces como quieras, el resultado es $0$)

Así que pensé que un número infinito de 0 no puede ser cualquier cosa, pero 0? Pero alguien afirma diferentes, pero no pudo ofrecer una explicación razonable de por qué. Los resultados de Google parecía un poco dudoso sobre el tema - es de esperar que esta pregunta va a cambiar eso.

Answer 1

El problema es que las leyes de la suma y la multiplicación se utiliza para mantener los números naturales, pero el infinito no es un número natural, por lo que estas leyes no se aplican. Si no, usted podría usar un argumento similar que al multiplicar cualquier cosa por el infinito, no importa lo pequeño que sea, da infinito,$\infty \times 0 = \infty$. Más sofisticados argumentos pueden ser realizadas, como $\infty \times 0 = \lim_{x \to \infty} (x \times 1/x) = 1$. Evidentemente, todos estos diferentes valores de $\infty \times 0$ significa que $\infty$ no pueden ser tratados como los demás números.

Con el fin de trabajar con el infinito, primero debe definir. Usted puede pensar que usted sabe lo infinito es, pero realmente no tiene una definición concreta. De hecho, hay muchas definiciones diferentes de lo infinito que puede utilizar, cada uno de los cuales dan lugar a distintos comportamientos. Por ejemplo, el real proyectiva línea tiene un concepto de infinito tal que $1/\infty = 0$, mientras que cuando se habla de conjuntos infinitos uno utiliza los números cardinales (otro tipo de infinito) para representar el tamaño de estos conjuntos. Usted debe dejar claro lo que es el infinito te están hablando sobre el fin de trabajar con él.

En resumen, la expresión de $\infty \times 0$ el uso de la multiplicación definida para los números naturales no tienen ningún significado, por lo que no puede ser igual a $0$.

Answer 2

Hay que recordar que el infinito no es un número. Es más de un concepto. Cuando usted escribe

n x 0 = 0 + 0 + 0 +..+ 0 = 0

usted está haciendo un número finito de operación. No hay manera de seguir sumando cero hasta alcanzar el infinito, porque no se puede alcanzar el infinito. Es esta incapacidad para alcanzar el infinito que hace que las operaciones de violar a su intuición. Álgebra tradicional/aritmética no funciona en el infinito. Es por esta razón utilizamos el concepto de límites, lo que está bien definido matemáticamente y nos permite realizar álgebra en los infinitos.

Answer 3

Como se ha señalado en las otras respuestas, el problema es la interpretación de lo que significan por $\infty \cdot 0$. Estrictamente hablando, $0+0+\cdots+0$ cuando el número de términos que se extiende hacia el infinito ES 0 (esto es sólo la suma de una serie).

Pero mira este ejemplo

\begin{eqnarray} \begin{split} 1&=&1 \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}&=&1 \\ \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3} &=&1 \\ \vdots \\ \frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n} &=&1 \\ \end{split} \end{eqnarray}

Repitiendo el proceso, a cada paso puedo obtener más números, cada uno de ellos más cerca de cero...Esto es también lo que podemos entender por $\infty \cdot 0$, pero esto es $1$, ¿no?

Answer 4

Esto es sólo un comentario general sobre cuestiones como estas:

Cuando se enfrentan a las definiciones y los resultados que usted piensa que usted podría estar en desacuerdo con, trate de pensar a través de las definiciones. En este caso, ¿cómo definirías la multiplicación por $\infty$? Más fundamentalmente, cómo definirías $\infty$? Un enfoque sería definir formalmente $\infty$ como un símbolo de que $a \infty = \infty$ para todos los números de $a$, pero entonces tendríamos que excluir $0$, y establecer $0 \infty = 0$. Esto causa problemas, sin embargo (si queremos que la ley distributiva): $0=(a-a)\infty =\infty-\infty$. Y ¿cómo definirías este?

Dentro de poco, tratando de hacer operaciones aritméticas con este nuevo símbolo hace un montón de problemas. Cuando se trata de lidiar con las entidades que son "inusuales" debe definir qué son y cómo interactúan con otros objetos matemáticos.

De la misma manera, se podría preguntar cómo definir infinitesimals, números que son menores que cualquier otro número. Decir, un número $\epsilon$ tal que $|\epsilon| < a$ para todo real número cero $a$. Tal número no existe en el sistema numérico real, pero es posible definir un sistema como este. (Google no estándar de análisis) Ahora la tarea es definir cómo hacer operaciones aritméticas con infinetesimals... (pero esto es muy off-topic)

Para resumir un poco desorganizada respuesta: pensar en las consecuencias de la definición de $0 \infty = 0$. (es decir, tratar de reducir ad absurdum). Pensar a través de lo que las definiciones que usted está utilizando y tratar de encontrar ejemplos.