¿Por qué se puede escribir un número racional como$P/Q$?

Question

Por qué cualquier número racional se puede escribir como $P/Q$? y como para demostrar que donde $p,q$ son enteros y al menos uno de $p,q$ es impar?

Puedo ver que al menos uno de $p,q$ es extraño, pero yo no se cómo escribir la prueba correctamente.

Hice es:
Deje $x$ ser un número racional.
Caso 1: $x$ es un entero
a continuación, $x = x/1$ donde $1$ es un número impar.
Caso 2: $x$ no es entero
escribir $x = m/n$
si $m,n$ ambos son iguales, entonces la $2$ cancela, y repita el caso de $2$ proceso hasta que al menos uno de los dos números es impar.

Answer 1

Por el teorema fundamental de la aritmética (la unicidad y existencia de la descomposición en factores primos), cualquier entero $N\ne0$ puede ser escrito como $$ N=2^un $$ donde $n$ es impar (el exponente $a$ no es entero negativo y puede ser $0$, precisamente cuando la $N$ ya es impar). El caso de $P/Q$ donde $P=0$ es fácil: $P/Q=0/1$. Así, podemos asumir también se $P\ne0$.

Ahora tenemos $P=2^ap$$Q=2^bq$, $p$ $q$ impar, tres casos son posibles:

1. $a>b$ $\dfrac{P}{Q}=\dfrac{2^ap}{2^bq}=\dfrac{2^{a-b}p}{q}$ donde el denominador es impar;

2. $a=b$ $\dfrac{P}{Q}=\dfrac{2^ap}{2^bq}=\dfrac{p}{q}$ donde tanto el numerador y el denominador son impares;

3. $a<b$ $\dfrac{P}{Q}=\dfrac{2^ap}{2^bq}=\dfrac{p}{2^{b-a}q}$ donde el numerador es un número impar.

Esto es sólo una mejor formalizado versión de su argumento: la clave es que usted no puede mantener dividiendo por $2$ ad infinitum, por lo que el proceso finalmente se detiene.

Answer 2

Debido a que un número racional se puede expresar como una relación , es decir, cualquier número racional se puede representar$\frac{p}{q}$.

Uno de$p,q$ debe ser impar, porque si fueran ambos pares, no serían coprime, y por lo tanto, no simplificados. (Asumiendo$q\ne 0$, pero si$q=0$, ya no es un número racional.)