¿Fácil prueba del teorema de Noether?

Question

¿Dónde puedo encontrar una prueba fácil del teorema de Noether ? Quiero decir que sé que la variación debe ser

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Para el caso de una partícula$ 0=\delta S = (EULER-LAGRANGE)+ (CONSERVED\, \, \, CURRENT) $. Sé cómo obtenerlo por que tengo dudas para el caso de los campos$q(t)$, cualquier pista? He comprobado varios libros, pero no encuentro ninguna prueba fácil del teorema de Noether en ninguna parte; Utilizan métodos demasiado complicados.

Answer 1

Consideramos transformaciones infinitesimales de un campo en el formulario,

$$\phi\to\phi' = \phi(x)+\alpha \Delta \phi(x)$$

para un infinitesimal parámetro $\alpha$. El sistema se dice que ser invariante bajo una transformación en caso de cambios, hasta un total de derivados o de la superficie plazo, es decir,

$$\mathcal{L}\to\mathcal{L}'=\mathcal{L}(x)+\alpha \,\partial_\mu F^{\mu}(x)$$

Mediante la variación con respecto a los campos,

$$\alpha \Delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\alpha \Delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\partial_\mu (\alpha\Delta \phi)$$ $$= \alpha \underbrace{\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\Delta \phi\right)}_{F^\mu(x)} + \alpha \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}-\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\right)\right]\Delta \phi$$

donde en la última línea se emplearon las ecuaciones de movimiento que surgen por la exigente $\delta S=0$. Aviso el segundo término es cero por esa razón, y por lo tanto, podemos declarar,

$$j^{\mu}(x)=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi)}\Delta \phi - F^{\mu}(x)$$

que satisface la ecuación de continuidad, $\partial_\mu j^{\mu}=0$, o en cálculo vectorial idioma,

$$\frac{\partial j^{0}}{\partial t}+\nabla \cdot \vec{j}=0$$

La correspondiente Noether carga está dada por,

$$Q=\int \mathrm{d}^{d-1} x \, j^{0}$$

que se puede comprobar a través de la ecuación de continuidad y de Stokes teorema de ese $Q$ es conservada a nivel local.

---

Recursos útiles: Peskin y Schroeder, de la Introducción a la Teoría Cuántica de campos