Obtención de una operación binaria en$X \rightarrow Y$ de una operación binaria en$Y$. ¿Qué, si acaso, hacer de esta observación?

Question

Deje $X$ $Y$ denotar conjuntos. Entonces si $+$ es una operación binaria en $Y$, entonces podemos obtener una nueva operación binaria $+'$ $Y^X$ en una forma canónica de la siguiente manera.

$$(f+' g)(x) = f(x)+g(x)$$

Pregunta. El otro día, me di cuenta de una sugerente aspecto variante de la anterior definición. Sin embargo, no estoy seguro de qué hacer con esta observación. ¿Tiene algún significado especial?

La variante.

Deje que nosotros en primer lugar asignar a cada una de las $x \in X$ "evaluación de la función" $\tilde{x} : Y^X \rightarrow Y$ con la definición de la propiedad $\tilde{x}(f) = f(x).$ Esto permite a $+'$ a definirse de la siguiente manera, donde se entiende que $f$ $g$ sobre todas las funciones de $X \rightarrow Y$ $x$ rangos de cada elemento de $X$.

$$\tilde{x}(f+' g) = \tilde{x}(f)+\tilde{x}(g)$$

En otras palabras, estamos definiendo que $+'$ es la única operación binaria tal que para todos los $x \in X,$ tenemos que $\tilde{x}$ es un magma homomorphism con origen $(Y^X, +')$ y el de destino $(Y,+)$.

¿Esta caracterización definitiva de $+'$ tiene algún significado particular y/o "ir a cualquier parte"?

Answer 1

De hecho, esto es parte de una historia más grande, puesto en marcha por Freyd en su papel de "Álgebra con valores de functors en general y de tensor de productos en particular".

Si $\mathcal{A}$ es una categoría de estructuras algebraicas con olvidadizo functor $U : \mathcal{A} \to \mathsf{Set}$, entonces se puede definir $\mathcal{A}$-objetos en una categoría arbitraria $\mathcal{C}$ como sigue: Estos son los objetos de $X \in \mathcal{C}$ equipada con una factorización de $\hom(-,X) : \mathcal{C}^{op} \to \mathsf{Set}$$U$. En otras palabras, $\hom(Y,X)$ adquiere la estructura de un objeto de $\mathcal{A}$, de forma natural en $Y$. Si $\mathcal{C}$ tiene productos, estos objetos también pueden ser descritos internamente a $\mathcal{C}$ - esta es una aplicación de la Yoneda Lema. Por ejemplo, un objeto de grupo es un objeto $X$ equipada con morfismos $X \times X \to X$ (multiplicación), $1 \to X$ (unidad), $X \to X$ (inversión) ciertos diagramas conmutan, que se corresponden con el habitual grupo de axiomas. Este es un concepto muy importante, que incluye grupos topológicos, grupos, Mentira grupos, y bajo una adecuada generalización incluso álgebras de Hopf.

Más simplemente, un magma objeto es un objeto $X$ equipada con un morfismos $m : X \times X \to X$. Si $Y$ es un objeto cualquiera, a continuación, $\hom(Y,X)$ se convierte en un magma, como ya se ha mencionado anteriormente. La operación es solo $$\hom(Y,X) \times \hom(Y,X) \cong \hom(Y,X \times X) \xrightarrow{m_*} \hom(Y,X).$$ Esto es lo que han observado en la categoría de conjuntos.