La notación para derivados parciales

Question

Hoy, en mi clase, me presentó a derivadas parciales. Una de las cosas que me confunde es la notación. Espero que me equivoque y espero que la comunidad puede contribuir a mi formación. En una sola variable de cálculo, sabemos que, dada una función de $y =f(x)$, la derivada de $y$ se denota como $\frac {dy}{dx}$. Yo entiendo esto como el cambio relativo en $y$, $\delta y$ dado un pequeño cambio en $x$, $\delta x$.

Sin embargo, en la lección de hoy en derivadas parciales, mi profesor que constantemente se utiliza esta notación.

Dada una función de $z = f(x,y)$, la primera derivada con respetada a $x$ es escrito como

$$ \frac{\partial z}{\partial x} $$

Así, por ejemplo

$$ z = 5x+3y\\ \frac{\partial z}{\partial x} = 5 $$

¿Por qué no puedo escribir como $$ z = 5x+3y\\ \frac{d z}{d x} = 5 $$

Es una convención o no estoy entendiendo algo en la notación?

Answer 1

Una mejor idea es la de la diferencial:

$$ \text{If} \qquad z = 5x + 3y \qquad \text{then} \qquad dz = 5\, dx + 3\,dy $$

Entonces, si usted decide mantener $y$ constante, que hace que $dy = 0$, y ha $dz = 5 \, dx$.

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Otra notación que funciona bien con la notación de la función es que si definimos

$$ f(x,y) = 5x + 3y$$

a continuación, $f_i$ significa que derivado de la $f$ con respecto al $i$-ésima; que es

$$ f_1(x,y) = 5 \qquad \qquad f_2(x,y) = 3 $$

Esto no funciona bien con un abuso de notación, aunque, a veces la gente escribe $f(r,\theta)$ cuando en realidad quieren decir "evaluar $f$ a $(x,y)$ par cuyas coordenadas polares se $(r, \theta)$" en lugar de "corregir" el sentido de la expresión "evaluar $f$$(r, \theta)$". Así que si usted está en el hábito de hacer eso, no trate de indicar derivados de su posición.

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Confieso que realmente no me gustan derivada parcial de la notación; cuando uno escribe $\partial/\partial x$, un "secreto" significa que tienen la intención de mantener $y$ constante, entonces cuando uno pasa a través de la diferencial, se obtiene

$$ \frac{\partial z}{\partial x} = 5 \frac{\partial x}{\partial x} + 3 \frac{\partial y}{\partial x} = 5 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 5$$

Sin embargo, la sugerente forma de notación de Leibniz comienza a volverse muy engañoso en este punto; por ejemplo, vamos a calcular otras derivadas parciales.

• $\partial z / \partial x = 5$, manteniendo $y$ constante como la notación sugiere
• $\partial x / \partial y = -3/5$, manteniendo $z$ constante como la notación sugiere
• $\partial y / \partial z = 1/3$, manteniendo $x$ constante como la notación sugiere

Luego de poner juntos,

$$ \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z} = 5 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{1}{3} = -1 $$

Esta es una gran sorpresa si usted espera que las derivadas parciales se comporte de forma similar a las fracciones como su notación sugiere!!!

Answer 2

En primer lugar, estar seguro de que no eres el único que está confundido por la notación estándar para las derivadas parciales. Ver esta respuesta para una colección de respuestas que he escrito en respuesta a tales confusiones.

El problema es que la notación estándar no indica cuáles son las variables que se mantienen constantes. Se asume que usted ha definido una función de un determinado conjunto de variables, y que todo el mundo recuerda lo que son. Eso está bien si sólo introducir una función única y escribir sus derivadas parciales como

$$ \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x} $$

y similares, puesto que los argumentos de la función de evaluación de hacer lo que la notación para la derivada parcial es falta, pero se convierte en un problema cuando usted comienza a escribir cosas como

$$ \frac{\partial f}{\partial x} $$

y especialmente cuando usted tiene un montón de cosas como $x,y,z$ flotando alrededor que parecen todas las variables y la notación no contienen la menor idea de cuales de estos son tratados como funciones, y que como variables independientes se mantiene constante.

En cierto sentido, es verdad que siempre se puede lo que respecta $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ $\dfrac{\mathrm df}{\mathrm dx}$ de un univariante de la función, es decir, por sobre todas las otras variables como parámetros. Es decir, dada una función de $f(x,y)$ de dos variables, se puede considerar $y$ como un parámetro fijo y escribir $g(x)=f(x,y)$, y, a continuación,$\dfrac{\mathrm dg}{\mathrm dx}=\dfrac{\partial f}{\partial x}$. Entonces, si usted siente que las cosas no están del todo bastante confuso ya, usted puede en lugar de llamar a esta nueva univariante de la función con el mismo nombre que la función multivariante $f$ y escribir $\vphantom{\dfrac{\partial f}{\partial x}}f(x)=f(x,y)$, y, a continuación, de hecho,$\dfrac{\mathrm df}{\mathrm dx}=\dfrac{\partial f}{\partial x}$, pero es necesario recordar lo que usted quiere decir: $\dfrac{\mathrm df(x)}{\mathrm dx}=\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}$, con dos usos diferentes del símbolo $f$.

Sin embargo, este punto de vista rara vez es muy útil, ya que las variables de una función multivariante son generalmente variables en un plano de igualdad por una buena razón, y generalmente han introducido como de determinados parámetros, en primer lugar, si esa era la manera natural de pensar de ellos. Por lo general, es mejor ver la univariante de la función que se obtiene al mantener todos, pero una variable fija como una construcción temporal que sólo se usa para definir y pensar acerca de la derivada parcial, pero no como algo que debe aparecer en la notación como una univariante de la función en su propio derecho.