En Keith Conrad notas (página 4) está escrito:
Para dos $R-$módulos de $M$ y $N$ , $M\oplus N$ y $M\times N$ son el mismo establece, sino $M\oplus N$ $R-$módulo de e $M\times N$ no tiene una estructura de módulos.
Fuera de contexto, esta frase parece extraño. Creo que de $\oplus_{i\in I}M_i$ $\prod_{i\in I}M_i$ como conjuntos de colecciones $\{(m_i)_{i\in I}\}$ con plazo de sabios operaciones (a diferencia sólo en caso de que el infinite $I$). O como objetos universales en la categoría de $R-$módulos. En ambos casos $\prod_{i\in I}M_i$ es un módulo (como yo creo).
Tengo la impresión de que nos "hacer creer" que $M\times N$ no tiene una estructura de módulos.
A mí me parece que Keith Conrad considera $"\oplus"$ ( $"\otimes"$ ) ser un módulo (objeto de la categoría $R-$mod), sino $"\times"$ ser sólo un conjunto de variables para las multi-funciones lineales. Por qué?
Por escrito:
... además de en $R$ es función lineal $R\oplus R\to R$, pero además en R no es una función bilineal $R\times R\to R$, como vimos anteriormente. La multiplicación como una función de $R\times R\to R$ es bilineal, sino como un la función $R\oplus R\to R$ es no lineal.
Es extraña la pregunta, pero ¿por qué $"\oplus"$ tiene una adición natural y $"\times"$ tiene un natural de la multiplicación?
Lo siento por esa vaga preguntas, espero que entiendas lo que me confunde.
