Durante mis estudios, siempre quise ver un "puramente categoría teórica de la" prueba de la Serpiente Lexema, es decir, una prueba de que las construcciones de todos los morfismos (incluyendo la serpiente), y demuestra la exactitud a través de propiedades universales. Se trataba de un interés poco compartido por mis maestros y compañeros de los estudiantes, pero recientemente he encontrado el tiempo para dedicarse a ella de nuevo.
Hay un libro maravilloso en la categoría de teoría con una prueba: El Manual de Categórico Álgebra, Volumen 2, por Francisco Borceux. Tengo una pregunta acerca de la prueba, sin embargo, que me parece que no puede resolver.
El Lema de la Serpiente es el Lema 1.10.9, y tengo un problema con uno de los preliminares, a Saber: la "restringida" de la Serpiente Lema 1.10.8.
Edit: he escaneado los diagramas en cuestión en el libro. Lo siguiente es lo que queremos, es decir, queremos construir $\omega$ desde el resto del diagrama donde todas las plazas de viaje y todas las filas y columnas son exactas.
La construcción es entonces de la siguiente manera: $\Delta$ $\Gamma$ son obtenidos por el pull-back y definimos $\Sigma:=\mathrm{Ker}(\Delta)$. Doblemente con $\Lambda$, $\Xi$ y $\Upsilon$.
En la página 46, dice que
Por el lema 1.10.1 y su doble, hay morfismos $\Psi$ $\Omega$ hacer el diagrama conmutativo y las columnas exteriores exacta.
No puedo verificar esta afirmación. Por ejemplo, respecto a $\Psi$, me parece que en el fin de aplicar el lema 1.10.1, requeriría que la secuencia de $(\Gamma,\lambda)$ es exacta, pero no veo cómo que seguiría de la construcción. ¿Qué estoy haciendo mal?!
Edit: Lema 1.10.1 es la afirmación de que en el siguiente diagrama, con conmutativa plazas (1) y (2) y exacto de filas $(\zeta,\eta)$ $(0,\nu,\xi)$ con $\gamma=\mathrm{Ker}(\theta)$, $\delta=\mathrm{Ker}(\lambda)$ y $\varepsilon=\mathrm{Ker}(\mu)$, existen único morfismos $\alpha$ $\beta$ hacer el diagrama conmutativo. Además, $(\alpha,\beta)$ es exacta.
