¿Cómo demostrar que el mapa lineal es invertible?

Question

a) Que $L:V \to V$ sea un mapa lineal tal que $L^2 + 2L + I = 0$ , demuestran que $L$ es invertible.
b) Que $L:V \to V$ sea un mapa lineal tal que $L^3 = 0$ , demuestran que $I - L$ es invertible.

Aquí, $I$ es el mapeo de la identidad.

Para la primera parte, sé que $L^2 + 2L + I = (L+I)^2 = 0$ , si $v\in V$ entonces $(L+I)^2 v = (L+I)(L(v) + v)) = 0$ así que $L(v) + v$ está en el espacio nulo de $L+I$ Desde aquí, ¿cómo puedo demostrar que $0$ sólo está en el espacio nulo de $L$ .

No necesito una solución exacta. Bastarían las pistas.

Answer 1

A) Supongamos que $Lv=0$ entonces $0 = L^2v +2Lv+v = L0 + 0 + v = v$ es decir $v=0$ .

b) Supongamos $(I-L)v=0$ es decir $Lv = v$ por lo que $0 = L^3 v =v$ es decir $v=0$

Answer 2

$L^2 + 2L + I = O$ entonces $-L^2-2l=I$ entonces $L(-L-2)=I$ Por lo tanto, $$L^{-1} =-L-2$$

Answer 3

La misma proposición se refiere a ambas partes:

Si $L^n=0$ para algunos $n\in \mathbb{N}$ entonces $I-L$ es invertible. Para demostrarlo, comprueba que $I+L+L^2 + \cdots + L^{n-1}$ es la inversa.

a) $(L+I)^2=0$ así que $I-(L+I) = -L$ es invertible, y por lo tanto también lo es $L.$

b) es precisamente el caso $n=3.$

Answer 4

Una pista: Puede demostrar que si $L$ es un endomorfismo y $P$ es un polinomio tal que $P(0) \neq 0$ et $P(L)=0$ entonces $L$ es invertible.

Answer 5

Para la primera tienes $$ L(L + 2I) = -I. $$ Para el segundo tienes $$ (I-L)(I+L)(I+L^2) = \dots = I. $$