¿Cuáles son estas dos topologías?

Question

Soy un principiante en la Topología. Hoy en día, esto vino a mi mente:

(1) Para un conjunto $X$, elegir un subconjunto $A\subseteq X$. Deje $S\subseteq X$ ser un conjunto cerrado si y sólo si $(A\subseteq S)\vee (S=\emptyset)$. Esta es una topología en $X$.

(2) Para un conjunto $X$, vamos a $S\subseteq X$ ser un conjunto cerrado si y sólo si $(S $ es finito$)\vee (S = X)$. Esta es otra topología en $X$.

Las preguntas son:

[1] ¿cuáles son estos dos topologías de llamada?

[2] ¿tiene importancia? Son utilizados en algún lugar?

La primera pregunta de la stackexchange. Gracias!

Answer 1

Su segunda topología es conocido como el cofinite topología en $X$; es importante porque una topología $\tau$ $X$ $T_1$ si y sólo si $\tau$ contiene el cofinite topología. Como Ilya notas en los comentarios, también es útil en la construcción de contraejemplos, al menos cuando los ejemplos no están obligados a ser Hausdorff.

No sé de ningún nombre para su primera topología. Es la topología discreta en $X\setminus A$ junto con el indigesto bulto $A$, un conjunto que se comporta en la mayoría de los aspectos, como un solo punto. El cociente del espacio de $X/A$ es simplemente un espacio discreto con un punto correspondiente a $A$ y un punto por cada punto de $X\setminus A$.