Demuestre que cada espacio compacto y metrizable tiene una base contable

Question

Mostrar que cada compacto metrizable espacio tiene una contables.

Yo:

Deje $X$ ser un espacio compacto y metrizable. Ahora, para cada una de las $n\in \Bbb N$; puedo considerar la apertura de la tapa $\{B(x,\frac{1}{n}):x\in X\}$$X$ .Como $X$ es compacto, podemos encontrar número finito de $x_i;1\leq i\le n$ correspondiente a cada una de las $n$ .

$B_n=\{B(x_i,\frac{1}{n});1\leq i\le n\}$ .Ahora $\Bbb B=\{B_n:n\in \Bbb N\}$ es una contables de la colección .

Queda por demostrar que $\Bbb B$ es una base de $X$.

Deje $U$ ser un conjunto abierto en $X$.Deje $x\in U\implies \exists r>0$ tal que $B(x,r)\in U$.Entonces tenemos que para algunos $n;\frac{1}{n}<r\implies x\in B(x,\frac{1}{n})\subset B(x,r)\subset U$

El problema es que no puedo demostrar la existencia de un miembro de $\Bbb B$ dice $B_n$ tal que $x\in B_n\subset U$.

Por favor alguien puede ayudar a completar la anterior prueba ? Estaré agradecido si lo ha hecho.

Answer 1

Tiene bastante tiene mucho de ella, aunque hay algunos errores de menor importancia en su prueba.

Para cada una de las $n$ consideramos que la apertura de la tapa $C_n=\{B(x, 1/n):\ x\in X\}$$X$. Por compacidad, existe un subconjunto finito $X_n$ $X$ tal que $B_n:=\{B(x, 1/n):\ x\in X_n\}$ cubre $X$.
(Aquí se cometió un error en su prueba suponiendo implícitamente que el $X_n$ puede ser elegido tener cardinalidad $n$).

Ahora vamos a definir los $B=\bigcup_{n\in \mathbf N}B_n$.
(Aquí también hay un pequeño error en la prueba. Se definen $B=\{B_n:n\in \mathbf N\}$. Tenga en cuenta que la forma en que me definen $B$ es diferente a la tuya.)

Queremos mostrar que $B$ forma una base de $X$.

Para demostrar esto, basta para mostrar que cada conjunto abierto en $X$ puede ser escrito como una unión de algunos de los miembros de $B$. Así que vamos a $U$ ser un conjunto abierto en $X$ $x\in U$ ser elegido arbitrariamente.

A continuación, vamos a $k>0$ ser un entero tal que $B(x, 1/k)$ está contenido en $U$. Ahora por nuestra construcción, sabemos que $B_{2k}$ es una cubierta abierta de a $X$. Así que algunos de los miembros de $B_{2k}$ contiene $x$. No hay $x_0\in X_{2k}$ ser tal que $x\in B(x_0, 1/2k)$.

Por el triángulo de la desigualdad, tenemos $B(x_0, 1/2k)\subseteq B(x, 1/k)\subseteq U$.

Así que hemos encontrado un miembro de la $B(x_0, 1/2k)$ $B$ que contiene $x$, y está contenida en $U$, mostrando que el $U$ puede ser escrito como una unión de algunos de los miembros de $B$ y hemos terminado.

Answer 2

Usted necesidad de redefinir su $\Bbb B$.

Para cada una de las $n\in \Bbb N^+$ la correspondiente apertura de la tapa $B(x,1/n),x\in X$ admite un número finito de subcover $$B_n:=\{B(x_{ni},1/n),i=1,2,\cdots,k_n\}$$ debido a la compacidad de $X$.

Ahora usted desea mostrar a $\Bbb B:=\cup B_n$ es una base deseada.

Countableness ha demostrado en su intento, sólo es suficiente para mostrar $\Bbb B$ es una base de hecho. Es decir, para abrir todas las subconjunto $U\subset X$, y para todos los $x\in U$, existe un miembro de la $B\in \Bbb B$ tal que $$x\in B\subset U$$ Puesto que existe $r>0$ tal que $B(x,r)\subset U$, sólo tenemos que encontrar una $B$ que es completamente incluido en $B(x,r)$. Para $n$ tan grande que $1/n<r/4$, encontramos algunos $m\in \{1,2,\cdots,k_n\}$ tal que $x\in B(x_{nm},1/n)$, entonces es evidente que esta bola puede servir como el deseado $B$. (Para todos los $y\in B(x_{nm},1/n)$, tenemos $$d(y,x)\le d(x,x_{nm})+d(y,x_{nm})<r/2<r$$ que dice $B(x_{nm},1/n)\subset B(x,r)\subset U$.)

Answer 3

Primero de todo, Vim comentario es absolutamente cierto: usted puede ser que necesite más de $n$-cantidad de bolas de radio ${1\over n}$ para cubrir su espacio. Pero por supuesto, esto no afectar el argumento, que sólo necesita que haya finitely muchos. Así que vamos a dejar $x_{n, i}$ ($i\le k_n$) ser los centros correspondientes.

Sugerencia: Si $U$ es abierto y $x\in U$, entonces hay algunas $s$ tal que $B(x, s)\subseteq U$. Ahora coger $n$ "suficientemente grande" y $x_{n, i}$ tal que $x\in B(x_{n, i}, {1\over n})$; ¿qué se puede decir acerca de la $B(x_{n, i}, {1\over n})$$U$?

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Una nota interesante: este argumento también muestra que cualquier compacto metrizable espacio es separable (=tiene una contables subconjunto denso), y es fácil demostrar que si un espacio metrizable es separable, entonces tiene una contables. En general, espacios topológicos, esto no funciona: por ejemplo, el de Stone-Cech Compactification de $\mathbb{N}$ (o, la topología usual en el conjunto de ultrafilters en $\mathbb{N}$) tiene una contables subconjunto denso pero no contables. Métrica espacios son especiales.

Answer 4

Creo que necesitas un poco diferente de la prueba. Para cada una de las $n$ considera $\{B(x,1/n):x\in X\}$. Ajustarlo a un número finito de la cubierta mediante la compacidad. La unión de esos finitos cubre para todos los $n$ es una contables de las pelotas. Vamos a la $x_i$ ser los centros de las bolas. Para cada $x$ y cada $n$, $x$ tiene que ser en lo finito de la cubierta correspondiente a $n$, y por lo tanto no es un $x_i$ tal que $d(x_i,x)<1/n$.

Ahora bien, dado $U$ $x\in U$ elija $n$ tal que $B(x,1/n)\subset U$, y elija $x_i$ tal que $d(x_i,x)<1/(2n)$. Si $d(x_i,y)<1/(2n)$$d(x,y)\le d(x_i,x)+d(x_i,y)<2/(2n)=1/n$. Por lo tanto $B(x_i,1/(2n))\subset B(x,1/n)\subset U$ como se desee.