Mostrar que cada compacto metrizable espacio tiene una contables.
Yo:
Deje $X$ ser un espacio compacto y metrizable. Ahora, para cada una de las $n\in \Bbb N$; puedo considerar la apertura de la tapa $\{B(x,\frac{1}{n}):x\in X\}$$X$ .Como $X$ es compacto, podemos encontrar número finito de $x_i;1\leq i\le n$ correspondiente a cada una de las $n$ .
$B_n=\{B(x_i,\frac{1}{n});1\leq i\le n\}$ .Ahora $\Bbb B=\{B_n:n\in \Bbb N\}$ es una contables de la colección .
Queda por demostrar que $\Bbb B$ es una base de $X$.
Deje $U$ ser un conjunto abierto en $X$.Deje $x\in U\implies \exists r>0$ tal que $B(x,r)\in U$.Entonces tenemos que para algunos $n;\frac{1}{n}<r\implies x\in B(x,\frac{1}{n})\subset B(x,r)\subset U$
El problema es que no puedo demostrar la existencia de un miembro de $\Bbb B$ dice $B_n$ tal que $x\in B_n\subset U$.
Por favor alguien puede ayudar a completar la anterior prueba ? Estaré agradecido si lo ha hecho.