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Demuestre que cada espacio compacto y metrizable tiene una base contable

Mostrar que cada compacto metrizable espacio tiene una contables.

Yo:

Deje $X$ ser un espacio compacto y metrizable. Ahora, para cada una de las $n\in \Bbb N$; puedo considerar la apertura de la tapa $\{B(x,\frac{1}{n}):x\in X\}$$X$ .Como $X$ es compacto, podemos encontrar número finito de $x_i;1\leq i\le n$ correspondiente a cada una de las $n$ .

$B_n=\{B(x_i,\frac{1}{n});1\leq i\le n\}$ .Ahora $\Bbb B=\{B_n:n\in \Bbb N\}$ es una contables de la colección .

Queda por demostrar que $\Bbb B$ es una base de $X$.

Deje $U$ ser un conjunto abierto en $X$.Deje $x\in U\implies \exists r>0$ tal que $B(x,r)\in U$.Entonces tenemos que para algunos $n;\frac{1}{n}<r\implies x\in B(x,\frac{1}{n})\subset B(x,r)\subset U$

El problema es que no puedo demostrar la existencia de un miembro de $\Bbb B$ dice $B_n$ tal que $x\in B_n\subset U$.

Por favor alguien puede ayudar a completar la anterior prueba ? Estaré agradecido si lo ha hecho.

20voto

caffeinemachine Puntos 2744

Tiene bastante tiene mucho de ella, aunque hay algunos errores de menor importancia en su prueba.

Para cada una de las $n$ consideramos que la apertura de la tapa $C_n=\{B(x, 1/n):\ x\in X\}$$X$. Por compacidad, existe un subconjunto finito $X_n$ $X$ tal que $B_n:=\{B(x, 1/n):\ x\in X_n\}$ cubre $X$.
(Aquí se cometió un error en su prueba suponiendo implícitamente que el $X_n$ puede ser elegido tener cardinalidad $n$).

Ahora vamos a definir los $B=\bigcup_{n\in \mathbf N}B_n$.
(Aquí también hay un pequeño error en la prueba. Se definen $B=\{B_n:n\in \mathbf N\}$. Tenga en cuenta que la forma en que me definen $B$ es diferente a la tuya.)

Queremos mostrar que $B$ forma una base de $X$.

Para demostrar esto, basta para mostrar que cada conjunto abierto en $X$ puede ser escrito como una unión de algunos de los miembros de $B$. Así que vamos a $U$ ser un conjunto abierto en $X$ $x\in U$ ser elegido arbitrariamente.

A continuación, vamos a $k>0$ ser un entero tal que $B(x, 1/k)$ está contenido en $U$. Ahora por nuestra construcción, sabemos que $B_{2k}$ es una cubierta abierta de a $X$. Así que algunos de los miembros de $B_{2k}$ contiene $x$. No hay $x_0\in X_{2k}$ ser tal que $x\in B(x_0, 1/2k)$.

Por el triángulo de la desigualdad, tenemos $B(x_0, 1/2k)\subseteq B(x, 1/k)\subseteq U$.

Así que hemos encontrado un miembro de la $B(x_0, 1/2k)$ $B$ que contiene $x$, y está contenida en $U$, mostrando que el $U$ puede ser escrito como una unión de algunos de los miembros de $B$ y hemos terminado.

5voto

Vim Puntos 3652

Usted necesidad de redefinir su $\Bbb B$.

Para cada una de las $n\in \Bbb N^+$ la correspondiente apertura de la tapa $B(x,1/n),x\in X$ admite un número finito de subcover $$B_n:=\{B(x_{ni},1/n),i=1,2,\cdots,k_n\}$$ debido a la compacidad de $X$.

Ahora usted desea mostrar a $\Bbb B:=\cup B_n$ es una base deseada.

Countableness ha demostrado en su intento, sólo es suficiente para mostrar $\Bbb B$ es una base de hecho. Es decir, para abrir todas las subconjunto $U\subset X$, y para todos los $x\in U$, existe un miembro de la $B\in \Bbb B$ tal que $$x\in B\subset U$$ Puesto que existe $r>0$ tal que $B(x,r)\subset U$, sólo tenemos que encontrar una $B$ que es completamente incluido en $B(x,r)$. Para $n$ tan grande que $1/n<r/4$, encontramos algunos $m\in \{1,2,\cdots,k_n\}$ tal que $x\in B(x_{nm},1/n)$, entonces es evidente que esta bola puede servir como el deseado $B$. (Para todos los $y\in B(x_{nm},1/n)$, tenemos $$d(y,x)\le d(x,x_{nm})+d(y,x_{nm})<r/2<r$$ que dice $B(x_{nm},1/n)\subset B(x,r)\subset U$.)

3voto

ManuelSchneid3r Puntos 116

Primero de todo, Vim comentario es absolutamente cierto: usted puede ser que necesite más de $n$-cantidad de bolas de radio ${1\over n}$ para cubrir su espacio. Pero por supuesto, esto no afectar el argumento, que sólo necesita que haya finitely muchos. Así que vamos a dejar $x_{n, i}$ ($i\le k_n$) ser los centros correspondientes.

Sugerencia: Si $U$ es abierto y $x\in U$, entonces hay algunas $s$ tal que $B(x, s)\subseteq U$. Ahora coger $n$ "suficientemente grande" y $x_{n, i}$ tal que $x\in B(x_{n, i}, {1\over n})$; ¿qué se puede decir acerca de la $B(x_{n, i}, {1\over n})$$U$?


Una nota interesante: este argumento también muestra que cualquier compacto metrizable espacio es separable (=tiene una contables subconjunto denso), y es fácil demostrar que si un espacio metrizable es separable, entonces tiene una contables. En general, espacios topológicos, esto no funciona: por ejemplo, el de Stone-Cech Compactification de $\mathbb{N}$ (o, la topología usual en el conjunto de ultrafilters en $\mathbb{N}$) tiene una contables subconjunto denso pero no contables. Métrica espacios son especiales.

1voto

ForgotALot Puntos 638

Creo que necesitas un poco diferente de la prueba. Para cada una de las $n$ considera $\{B(x,1/n):x\in X\}$. Ajustarlo a un número finito de la cubierta mediante la compacidad. La unión de esos finitos cubre para todos los $n$ es una contables de las pelotas. Vamos a la $x_i$ ser los centros de las bolas. Para cada $x$ y cada $n$, $x$ tiene que ser en lo finito de la cubierta correspondiente a $n$, y por lo tanto no es un $x_i$ tal que $d(x_i,x)<1/n$.

Ahora bien, dado $U$ $x\in U$ elija $n$ tal que $B(x,1/n)\subset U$, y elija $x_i$ tal que $d(x_i,x)<1/(2n)$. Si $d(x_i,y)<1/(2n)$$d(x,y)\le d(x_i,x)+d(x_i,y)<2/(2n)=1/n$. Por lo tanto $B(x_i,1/(2n))\subset B(x,1/n)\subset U$ como se desee.

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