Supongamos que $M$ es un $3$ por $2$ matriz en la que cada $2$ por $2$ submatriz es invertible. ¿Es cierto que $M$ siempre tiene un $2$ por $2$ submatriz $M_{1}$ tal que $\left\Vert M_{1}\right\Vert ^{2}\left\Vert M_{1}^{-1}\right\Vert ^{2}\lambda_{2}\left(MM^{T}\right)\ge\left\Vert M\right\Vert ^{2}$ donde $\left\Vert \cdot\right\Vert $ es la norma de una matriz (véase aquí para la definición) y $\lambda_{2}\left(\cdot\right)$ es el segundo mayor valor propio de un $3$ por $3$ ¿Matriz simétrica? Gracias
Respuesta
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Chris Ballance
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La respuesta es afirmativa. Su desigualdad es equivalente a $\sigma_1(M_1)/\sigma_2(M_1)\ge\sigma_1(M)/\sigma_2(M)$ , donde $\sigma_i(X)$ denota el $i$ -el mayor valor singular de una matriz $X$ . En realidad podemos demostrar una proposición más general:
Propuesta. Supongamos que $n\ge1$ y cada $n\times n$ submatriz de alguna $M\in\mathbb{C}^{(n+1)\times n}$ es invertible. Entonces existe un $n\times n$ submatriz $M_1$ de $M$ tal que $\sigma_1(M_1)/\sigma_n(M_1)\ge\sigma_1(M)/\sigma_n(M)$ .
Prueba. Denotemos el $n+1$ filas de $M$ por $b_1^\ast, \ldots, b_{n+1}^\ast$ . Sea $B_i=\sum_{k\not=i} b_kb_k^\ast$ . Entonces cada $B_i$ corresponde a un producto de la forma $M_1^\ast M_1$ donde $M_1$ es la submatriz obtenida al eliminar la $i$ -fila de $M$ . Tenemos $\sum_i B_i=nM^\ast M$ y $$ \frac{\sigma_1^2(M)}{\sigma_n^2(M)} =\frac{\max_{\|u\|=1} u^\ast M^\ast Mu}{\min_{\|v\|=1} v^\ast M^\ast Mv} =\frac{\max_{\|u\|=1} \sum_i u^\ast B_iu}{\min_{\|v\|=1} \sum_i v^\ast B_iv}. $$ Supongamos que $u_0$ y $v_0$ son respectivamente el maximizador del numerador y el minimizador del denominador de la última expresión. Por la hipótesis de las submatrices de la forma $M_1$ Cada uno de ellos $B_i$ es positiva definida. Por lo tanto, \begin {align} \frac { \sigma_1 ^2(M)}{ \sigma_n ^2(M)} = \frac { \sum_i u_0^ \ast B_iu_0}{ \sum_i v_0^ \ast B_iv_0} & \le\max_ {i=1, \ldots ,n+1} \frac {u_0^ \ast B_iu_0}{v_0^ \ast B_iv_0} \\ & \le\max_ {i=1, \ldots ,n+1} \frac { \max_ {\|u\|=1} u^ \ast B_iu}{ \min_ {\|v\|=1} v^ \ast B_iv} \\ &= \max\left\ { \frac { \sigma_1 ^2(M_1)}{ \sigma_n ^2(M_1)}: \ M_1 \textrm { es un } n \times n \textrm { submatriz de } M \right\ }. \end {align} De ahí el resultado.
