Vamos A Un = {1, 2,..., 10}. Cuántos tres elementos de los subconjuntos de Un contener al menos dos enteros consecutivos?
Yo creo que hay $\displaystyle \tbinom{10}{3}$ total de 3 subconjuntos de A. A encontrar los subconjuntos que contienen al menos dos enteros consecutivos, pensé que restar del total de todos los subconjuntos que no contienen números enteros consecutivos.
Tuve algunos problemas para la comprensión de la fórmula general para determinar el número de tamañok subconjuntos de tamañon de establecer que no contienen números enteros consecutivos, pero esta explicación ayudado.
De todos modos, que me da $\displaystyle \tbinom{10}{3}- \tbinom{n-k+1}{k}= 120 - \tbinom{10-3+1}{3}= 64$.
¿Se me olvida algo?
Gracias!
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Primero añadimos subconjuntos tomando cualquiera de los$9$ pares de enteros consecutivos$\{1,2\},\{2,3\},...,\{9,10\}$ y una elección arbitraria del tercer elemento - en cada caso hay$8$ tales opciones, por lo que esto da% # Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org
Sin embargo, vemos que cualquier conjunto de tres enteros consecutivos$9 \cdot 8 = 72$ ha sido contado dos veces, por lo que eliminar estos. Hay$\{1,2,3\},\{2,3,4\},...,\{8,9,10\}$ de ellos, por lo que restar eso y obtener$8$.
Leon Katsnelson
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Podría contar el número de subconjuntos de elementos$3$ que no tienen números enteros consecutivos.
El primer número$n_1$ se toma de$1,...,6$ (más alto y debe haber un par consecutivo). El siguiente número$n_2$ se toma de$n_1+2,...,8$, y el último número$n_3$ se toma de$n_2+2,...,10$.
Summing da \begin{eqnarray} \sum_{n_1=1}^6 \sum_{n_2=n_1+2}^8 \sum_{n_3=n_2+2}^{10} 1 &=& \sum_{n_1=1}^6 \sum_{n_2=n_1+2}^8 (9-n_2) \\ &=& \sum_{n_1=1}^6 \sum_{n_2=n_1}^6 (7-n_2) \\ &=& \sum_{n_1=1}^6 \sum_{n_2=1}^{7-n_1} (8-n_2-n_1) \\ &=& \sum_{n_1=1}^6 ((8-n_1)(7-n_1)-\frac{1}{2}(7-n_1)(8-n_1)) \\ &=& \sum_{n=1}^6 \frac{1}{2}(8-n)(7-n) \\ &=& \frac{1}{2} \sum_{n=1}^6 (n^2-15n+56) \\ &=& \frac{1}{2} (91-15\frac{1}{2}(6)(7)+6(56))\\ &=& 56 \end {eqnarray} Dado que$\binom{10}{3} = 120$, la respuesta es$120-56= 64$.
Steve Kass
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Alternativamente, los conjuntos de primera cuenta de la forma$\{a,a+1,b\}$, donde$b>a+1$. Hay$8$ para$a=1$, hay$7$ para$a=2$, ... y hay$1$ para$a=8$. Eso es 36 juegos. Aún para contar son conjuntos de la forma$\{c,a,a+1\}$ con (para evitar volver a contar cualquier conjunto previamente contado)$c < a-1$. Hay$1$ para$a=3$, hay$2$ para$a=4$, ... y hay$7$ Establece. En total, hay conjuntos$a=9$ =$28$, lo que concuerda con el cálculo de tfw.
