El teorema de Liouville establece que si $u$ es una función subarmónica no negativa, $L^ \infty ( \mathbf {R}^n)$ Entonces $u$ es constante ( $n \leq2 $ ). Alguien conoce un contra-ejemplo si $n>2$ o dónde puedo encontrar este teorema de Liouville?
Respuesta
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user32262
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Consideremos la solución fundamental $u(x) = ||x||^{2 - n}$ de la ecuación de Laplace que es armónica en $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ y tomar $v(x) = \max\{-u, -1\} + 1$ . Este es un ejemplo de función subarmónica continua acotada no negativa y no constante. Si quieres un ejemplo suave, puedes tomar una función suave con soporte compacto $\rho : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ con $0 \leq \rho \leq 1$ y $\int_{\mathbb{R}^n} \rho = 1$ y utilizar la solución fundamental para construir una solución de $\Delta u = \rho$ dada por $$ u(y) = \int_{\mathbb{R}^n} \frac{\rho(x)}{||x - y||^{n-2}} dy. $$ Se puede comprobar directamente que está acotado.
Si asume que $u$ es armónico, entonces el teorema también es cierto para $n > 2$ . La prueba, que es una consecuencia inmediata de la igualdad del valor medio, se puede encontrar aquí .
