¿Cuánto significa integración simbólica a las matemáticas?

Question

(Antes de la lectura, pido disculpas por mi pobre nivel de inglés.)

He disfrutado de cálculo de algunos simbólico integrales como un hobby, y este ha sido uno de los principales de origen de mi interés hacia el vasto mundo de las matemáticas. Por ejemplo, la integral de abajo $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \arctan (1 - \sin^2 x \; \cos^2 x) \,\mathrm dx = \pi \left( \frac{\pi}{4} - \arctan \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}} \right). $$ es lo que he conseguido en el cálculo de la actualidad.

Pero recientemente, a medida que aprendo campos avanzados, a mí me parece que la integración simbólica es de ninguna utilidad para la mayoría de los campos de las matemáticas. Por ejemplo, en el análisis, donde la integración se deriva de, ahora la gente parece estar interesado sólo en la realización de la integración numérica. Uno se integra en el fin de encontrar una evolución de un compacto hipersuperficie rige por medio de la curvatura de flujo, para calcular un resultado probabilístico descrito por Ito integral, o algo así. A continuación, el cálculo numérico será muy adecuada para los problemas. Pero parece que algunas personas están interesadas en la búsqueda de un valor exacto para un simbólico integral.

Así que esta es mi pregunta: ¿Es cierto que los problemas relacionados con la integración simbólica han perdido su atractivo en la actualidad? No hay un campo tal que en serio se ocupa cálculo simbólico (incluyendo la integración, suma) más?

Answer 1

Creo que sería apropiado en este punto citar Forman Acton:

...en un más difícil, pero menos perniciosos nivel tenemos la ineficiencias engendrado por la exacta analítica integraciones donde un sensible aproximación daría una manera más simple y más eficaz algoritmo. Así

$$\begin{align*}\int_0^{0.3}\sin^8\theta\,\mathrm d\theta&=\left[\left(-\frac18\cos\,\theta\right)\left(\sin^4\theta+\frac76\sin^2\theta+\frac{35}{24}\right)\sin^3\theta+\frac{105}{384}\left(\theta-\sin\,2\theta\right)\right]_0^{0.3}\\ &=(-0.119417)(0.007627+0.101887+1.458333)(0.0258085)+0.004341\\ &=-0.0048320+0.0048341=0.0000021\end{align*}$$

se las arregla para calcular una muy pequeña como resultado de la diferencia entre dos mucho los números más grandes. La más burda aproximación para $\sin\,\theta$ le dará

$$\int_0^{0.3}\theta^8\,\mathrm d\theta=\frac19\left[\theta^9\right]_0^{0.3}=0.00000219$$

con bastante más precisión potencial y mucho menos problema. Si varias figuras más se necesitan, en un segundo término de la serie pueden ser guardados.

En una vena similar, si no también a muchas de las figuras son necesarios, la cuadratura

$$\int_{0.45}^{0.55}\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\left[\tan^{-1}x\right]_{0.45}^{0.55}=0.502843-0.422854=0.079989\approx 0.0800$$

hace que el equipo que gastar un montón de tiempo a evaluar las dos arctangents para obtener un resultado que habría sido más conveniente calcula como el producto de el rango de integración ($0.1$) por el valor del integrando en el punto medio ($0.8$). El gasto de los momentos para los dos cálculos es aproximadamente de diez a uno. Para obtener más exacta de la cuadratura, la regla de Simpson sería todavía ser más eficiente que el arco tangente de las evaluaciones, tampoco se pierde una figura significativa de la resta. El estudiante que se venera en los altares de Clásica de las Matemáticas realmente debe ser advertido de que sus ritos tienen, con frecuencia, muy oblicua conexiones con el mundo externo.

Puede muy bien ser que la elección de la forma cerrada enfoque sigue siendo acabar con usted (implícitamente) realizar la cuadratura de todos modos; por ejemplo, un método eficiente para evaluar numéricamente el cero de orden función de Bessel de primera especie $J_0(x)$ utiliza la regla trapezoidal!

Por otro lado, también hay situaciones en las que la forma cerrada podría ser mejor para computacional fines. La costumbre ejemplos están las integrales elípticas $K(m)$$E(m)$; ambos son de manera más eficiente calculada a través de la media aritmética-media geométrica de usar un numérica de la cuadratura del método.

Pero, como he dicho en los comentarios, para manipulational trabajo, que poseen una forma cerrada para su integral es algo muy potente; no es un todo el cuerpo de los resultados que ahora se muy bien a tu disposición una vez que usted tiene una forma cerrada en la mano. Piense en ello como "de pie sobre los hombros de gigantes".

En corto, de nuevo, "depende de la situación y el terreno".

Answer 2

No creo que su punto de vista es el correcto. Para calcular una integral analíticamente y para calcular una integral numéricamente son cosas diferentes. Un análisis numérico profesor mío dijo una vez que, en las aplicaciones (ingeniería, física...) es a menudo más conveniente para evaluar directamente las integrales numérica significa que, incluso si son integrable analíticamente! Por ejemplo, supongamos que usted necesita

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \arctan (1 - \sin^2 x \; \cos^2 x) \,\mathrm dx$$

metros de alambre conductor. Hacer una llamada de teléfono a la fábrica de alambre y preguntar por qué? Para $\pi \left( \frac{\pi}{4} - \arctan \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}} \right)$ metros de cable? De manera más realista se le pide algo como $1.13$ metros de alambre.

Para obtener este número $1.13$ realiza una aproximación sobre la no-racional cantidad $\pi \left( \frac{\pi}{4} - \arctan \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2}} \right)$. De esta manera se desperdicia información. Habría sido más conveniente (y, tal vez, incluso más precisos) para realizar esta aproximación en la primera integral directamente, es decir, para evaluar numéricamente.

Por supuesto, esto no hace que los métodos analíticos inútil. Usted podría tener una familia de integrales dependiendo de un parámetro, por ejemplo. Métodos numéricos decirle nada aquí. Puede ejecutar a través de una integral en el medio de una prueba, y la necesidad de su exacto valor teórico de los efectos. Las posibilidades son innumerables.

Answer 3

Si usted está hablando acerca de la práctica de la ingeniería de aplicaciones, a continuación, en realidad sólo aproximaciones numéricas que se utilizan (y estudiado en ciencias de la computación como "análisis numérico" o, más recientemente, científicos de la computación).

Como a un académico de matemática de campo de hoy en día que se ocupa de la integración simbólica, primero un poco de perspectiva. Newton/Leibniz inventó el cálculo integral en ...hm...a finales de 1600 y fue popularizado (tanto como puede decir eso) en el año 1700. Algunos conceptos básicos de la integración simbólica ocurrido (sin ese nombre y del sistema) antes de entonces. Así que vamos a decir que no ha habido, al menos, 300 años de trabajo allí.

También, no hay más que invertir en derivados que sólo las integrales. Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales parecen ser la gran cosa (tanto de forma numérica y simbólica) de casi tan larga como un simple variable de las integrales.

Dicho esto, hay un pequeño grupo académico de las personas que trabajan en el 'cálculo simbólico' (con sus propias revistas), y uno en la subárea es la integración simbólica. Hay pruebas de la imposibilidad (es decir, demostrar que dadas ciertas restricciones que no hay "forma cerrada" para un determinado integral), y hay algoritmos para calcular las integrales dadas otras ciertas restricciones (el algoritmo de Risch). Este último a menudo se implementan en el sistema de álgebra paquetes (Mathematica, Maple, etc.).

Seguramente hay espacio para la resolución de particular integrales (en el AMM no no parecen ser muchas las integrales a pesar de que en la sección de Problemas) y para la búsqueda de patrones. Me gustaría ver esas revistas para ver lo particular interés para las integrales.