¿Es el representability de Zariski poleas local en la base?

Question

Deje $F: \mathsf{Sch_{/S}}^{op} \to \mathsf{Set}$ ser un Zariski gavilla en la categoría de $S$-esquemas. $F$ ser una gavilla significa que satisface la siguiente propiedad:

Gavilla condición: Para cada $S$- $X$ y cada cubierta abierta $\{U_j\} \subset Open_S(X)$ $X$ por la apertura de $S$-subschemes. El siguiente diagrama es un ecualizador:

$$F(X) \rightarrow \prod_{i} F(U_i) {{{} \atop \longrightarrow}\atop{\longrightarrow \atop {}}} \prod_{i, j} F(U_i \times_X U_j)$$

El siguiente teorema da una condición necesaria y suficiente para $F$ a ser representable por una $S$-Esquema:

Teorema: $F$ es representable por una $S$-esquema de iff $F$ tiene una cubierta abierta por representable subfunctors.

Esto es bastante satisfactorio, pero vamos a intentar algo aún más audaz.

Es la representabilidad local en la base? : Vamos a $F: \mathsf{Sch_{/S}}^{op} \to \mathsf{Set}$ ser un Zariski gavilla y $\{U_j\} \subset Open(S)$ una cubierta abierta de a $S$ la satisfacción de que todos los pullbacks $F \times_S U_j$ son representables. Debe $F$ ser representable?

El que acaba de pegamento actitud no parece funcionar para mí aquí. He jugado durante horas con la retirada de cubos y similares sin llegar a ninguna parte.

A menos que yo estoy entendiendo algo (que yo probablemente no) esta versión de "localidad" se utiliza de manera implícita en muchos de los argumentos que he encontrado. ¿Es realmente cierto? Si es así, ¿por qué?

Si no, ¿por qué no lo es tal vez un lugar diferente principio que no tiene?

Answer 1

Tal vez me estoy perdiendo algo, pero no es este solo el caso clásico de pegar los esquemas a lo largo de abrir subschemes?

Desde $F\times_S U_j$ es representable, de decir, de un esquema de $X_j$$U_j$, entonces para cualquier $i,j$, $X_j|_{U_i\cap U_j}$ es un espacio abierto de subscheme de $X_j$, e $X_i|_{U_i\cap U_j}$ es una subscheme de $X_i$. Ya que ambos son pullbacks de $F$ a lo largo de la misma morfismos $U_i\cap U_j\rightarrow S$, son "únicamente" isomorfo, y el asociado isomorphisms de triples de los índices de $i,j,k$ debe satisfacer la cocycle condición (de nuevo por la singularidad de isomorphisms), así que ahora tiene una familia de esquemas $X_i$ y varios abrir subschemes y isomorphisms entre la apertura subschemes, así que estás en el clásico de la pegadura de la situación (ver, por ejemplo, Hartshorne el capítulo II, el Ejercicio 2.12), a partir de la cual se puede construir un esquema de $X$$S$, cuya functor de puntos debe coincidir con $F$ debido a "la plena fidelidad de pullback functors de bajada de datos".