¿Valor propio de la matriz inversa?

Question

Es del libro "linear algebra and its application" de gilbert strang, página 260.

$(I-A)^{-1}$ = $I+A+A^{2}+A^{3}$ +...

La matriz no negativa A tiene el mayor valor propio $\lambda_{1}$ <1.

Entonces, el libro dice, $(I-A)^{-1}$ tiene el mismo vector propio, con valor propio $\frac{1}{1-\lambda_{1}}$ .

¿Por qué? ¿Hay alguna otra fórmula entre la matriz inversa y el valor propio que no conozca?

Answer 1

Una matriz $A$ tiene un valor propio $\lambda$ si y sólo si $A^{-1}$ tiene un valor propio $\lambda^{-1}$ . Para ver esto, observe que $$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \implies A^{-1}A\mathbf{v} = \lambda A^{-1}\mathbf{v}\implies A^{-1}\mathbf{v} = \frac{1}{\lambda}\mathbf{v}$$

Si su matriz $A$ tiene un valor propio $\lambda$ entonces $I-A$ tiene un valor propio $1 - \lambda$ y por lo tanto $(I-A)^{-1}$ tiene un valor propio $\frac{1}{1-\lambda}$ .

Answer 2

Si se trata de un solo vector propio $v$ sólo, con el valor propio $\lambda$ entonces $A$ sólo actúa como el escalar $\lambda$ y cualquier expresión razonable en $A$ actúa sobre $v$ como la misma expresión en $\lambda$ . Esto funciona para las expresiones $I-A$ (realmente $1-A$ , por lo que actúa como $1-\lambda$ ), su inversa $(I-A)^{-1}$ De hecho, para cualquier función racional de $A$ (si está bien definido; aquí es donde se necesita $\lambda_1<1$ ) e incluso para $\exp A$ .