Mostrar que $x^5+10x+3=0$ tiene exactamente una solución real utilizando el Teorema de Rolle.
Estoy haciendo referencia a un íntimamente relacionadas con la pila de responder aquí. Así, he tratado de dejar a $y=x^5+10x+3$. A continuación,$y'=5x^4+10$. Set $y'=0$ $$0=5x^4+10$$ $f$ es continua en a $\mathbb{R}$ $f$ es diferenciable en a $\mathbb{R}$ pero necesito un intervalo cerrado $[a.b]$ de la continuidad que corresponde a un intervalo abierto $(a,b)$ de la diferenciación. Donde $f(a)=f(b)$.
Yo no veo ninguna solución real tal como fueron capaces de encontrar en el enlace proporcionado. Así como no veo cómo satisfacer a $f(a)=f(b)$. Cualquier ayuda y la explicación es muy apreciada.
Respuestas
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Suponga $f(x)=x^5+10x+3$ tiene dos soluciones $f(a)=f(b)=0, \space a<b$, según el teorema de Rolle $\exists c \in (a,b): f'(c)=0$. Pero $f'(x)=5x^4+10>0$ y no tiene soluciones, contradicción. En este punto, sabemos que $f(x)$ $1$ o $0$ soluciones.
Usando el teorema del valor Intermedio $f(-1)=-8$ $f(0)=3$ , lo $\exists c \in (-1,0): f(c)=0$.
La combinación de estos dos hechos, $f(x)$ tiene exactamente una solución.
user254665
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$f'(x)=5x^4+10\geq 10>0$ para todo real $x.$ % que $f:\mathbb R\to \mathbb R$es uno a uno.
Porque si $f(a)=f(b)$ $a<b$ entonces la función $g(x)=f(x)-f(a)=f(x)-f(b)$ $0$ $x=a$ y $x=b$, lo que implica $g'(x)=0$ $x\in (a,b)$ por de Teorema de Rolle. $g'(x)=f'(x)\ne 0$ % Todos $x$.
Por lo tanto, en la mayoría es una verdadero $x$ $f(x)=0.$
Desde $f(0)>0$ y $f(-2)<0$ y $f$ son continua tenemos $0\in [f(-2),f(0)]\subset \{f(x):x\in [-2,0]\} $.
Por lo tanto hay por lo menos un real $x$ $f(x)=0. $
qbert
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Una ligera variación con menos cálculos: después de usar de Teorema de Rolle, basta para notar que existe una raíz, desde $ \lim_{x\rightarrow \infty}f (x) = + \infty $$ y $$ \lim_{x\rightarrow-\infty} f (x) =-\infty $$ puesto que los polinomios son continuas, hay al menos una raíz.
Nota: Esto demuestra que cualquier polinomio de grado impar tiene una raíz real.
