Distancia L1 a la esfera L2

Question

Puede parecer una pregunta extraña, pero he pasado bastante tiempo tratando de encontrar la respuesta al siguiente problema:

Dada una esfera unitaria euclidiana (L2) y un punto $p$ ¿Cuál es la distancia mínima L1 de $p$ a esa esfera?

He tenido bastante éxito con los círculos, y las fórmulas suelen ser elegantes y sencillas. Por ejemplo, para los puntos cuyo $x$ y $y$ coordenadas están ambas fuera del rango $[-1,1]$ la distancia es simplemente $|x|+|y|-\sqrt2$ . Me pregunto si existen fórmulas igualmente elegantes en 3D. Sin embargo, aquí es donde mis habilidades matemáticas están llegando a sus límites.

(Para llegar a las fórmulas 2D, he minimizado $|\cos\theta-x|+|\sin\theta-y|$ para $\theta$ con mayor o menor éxito. Dependiendo de $x$ y $y$ La curva puede llegar a ser bastante aterradora).

Si te preguntas para qué sirve esto: Estoy escribiendo un trazador de rayos poco convencional que utiliza un espacio discreto. La distancia L1 hace las cosas mucho más fáciles para muchas cosas, pero como usted puede imaginar los círculos y las esferas toman algunos ajustes adicionales.

Answer 1

Resulta útil observar primero el caso general en dos dimensiones, donde el círculo L1 $\Gamma_1$ es un diamante. Supongamos que $|x|,|y|\ge\frac{\sqrt2}2$ es decir $p=(x,y)$ está en la zona sombreada de arriba. A continuación, $\Gamma_1$ alrededor de $p$ puede ampliarse hasta que sea tangente al círculo L2 $\Gamma_2$ en $\left(\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2\right)$ , lo que hace que la distancia mínima L1 $d=|x|+|y|-\sqrt2$ . Por lo demás, $\Gamma_1$ sólo puede reunirse $\Gamma_2$ en un punto, y la geometría simple muestra que $d=z_+-\sqrt{1-z_-^2}$ donde $z_+=\max(|x|,|y|)$ y $z_-=\min(|x|,|y|)$ .

Para las tres dimensiones, $\Gamma_1$ es un octaedro, pero se aplica una idea similar. Si $|x|,|y|,|z|\ge\frac1{\sqrt3}$ , $\Gamma_1$ puede ampliarse hasta que uno de sus caras es tangente a $\Gamma_2$ en $\left(\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right)$ . Entonces $$d=|x|+|y|+|z|-\sqrt3$$ Supongamos ahora que $|z|\le\frac1{\sqrt3}$ . $\Gamma_1$ ahora sólo puede reunirse $\Gamma_2$ en un borde o un punto. Si cortamos todo el montaje perpendicularmente al $z$ -en el eje dado $z$ obtenemos una versión a escala del caso bidimensional. En conclusión, para encontrar la mínima distancia L1 $d$ , voltea e intercambia los ejes de coordenadas de manera que $x\ge y\ge z\ge0$ . Entonces $$d=\begin{cases} x+y+z-\sqrt3&\text{if }z\ge\frac1{\sqrt3}\\ x+y-\sqrt2\sqrt{1-z^2}&\text{if }z<\frac1{\sqrt3}\text{ and }y\ge\frac{\sqrt2}2\sqrt{1-z^2}\\ x-\sqrt{1-y^2-z^2}&\text{otherwise} \end{cases}$$ Este resultado se generaliza naturalmente a dimensiones superiores.