¿Cómo demostrar que$x^{-1}+y^{-1}+z^{-1} \ne 0$?

Question

Dejar enteros impares de $m$ y $m\ge 3$ $x,y,z\in \mathbb{F}_{2^m}^*$ tal que $x+y+z=0$. Tengo que probar que $x^{-1}+y^{-1}+z^{-1} \ne 0$.

Sugerencia: por absurdo suponer que $z^{-1}=x^{-1}+y^{-1}$ y considerar el elemento $xy^{-1}$.

Así que multiplicando por $x$ obtener: $xz^{-1}=1+xy^{-1} \Leftrightarrow x(z^{-1}-y^{-1})=1$. Eso significaría que es el inverso de $x$ $(z^{-1}-y^{-1})$. Pero no sé cómo concluir.

Por otra parte no sé si ayuda pero no existen elementos de orden $3$.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Aquí es qué pasa con $w = xy^{-1}$.

Supongamos por contradicción que $x+y+z=0$ y % o $x^{-1} + y^{-1} + z^{-1} =0$ $z = x+y$y $z^{-1} = x^{-1}+y^{-1}$. Multiplicando estos juntos, conseguimos $$1 = zz^{-1} = (x + y)(x^{-1} + y^{-1}) = 1 + x^{-1}y + xy^{-1} + 1 = x^{-1}y + xy^{-1}.$ $ si dejamos $w = xy^{-1}$, es decir $w + w^{-1} = 1$, que podemos cambiar para obtener $w^2 + w + 1 = 0$. Multiplicar por $w+1$, tenemos, % o $w^3 + 1 = 0$ $w^3 = 1$.

Pero dado que no existen elementos de orden $3$, contradicción.

Answer 2

Como alternativa usted puede pensar en términos de localizador de polinomios. En este caso considerar $$ f(T)=(T-x)(T-y)(T-z)=T^3-(x+y+z)T^2+(xy+yz+zx)T-xyz\en\Bbb{F}_{2^m}[T]. $$ La condición de $x+y+z=0$ nos dice que el término cuadrático de $f(T)$ se desvanece. Porque $$ \frac1x+\frac1y+\frac1z=\frac{xy+yz+zx}{xyz} $$ la suma de la izquierda puede desaparecer sólo cuando el lineal de $f(T)$ se desvanece así.

Así que sabemos que $f(T)$ es de la forma $$ f(T)=T^3-c $$ con $c=xyz\neq0$. Para $f(T)$ tener tres soluciones en $\Bbb{F}_{2^m}$ es necesario que $c$ tiene tres raíces cúbicas. La relación de dos raíces cúbicas es un tercio de la raíz de la unidad, así que esto sólo puede ocurrir cuando la $\Bbb{F}_{2^m}^*$ contiene elementos de orden tres (que es equivalente a $2\mid m$).