La serie converge. Es suficiente para demostrar que la secuencia de las siguientes sumas parciales converge:
\begin{align}
s_N &= \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{ |\sin 2n|}{2n}-\frac{|\sin (2n+1)|}{2n+1}\right)=\sum_{n=1}^N \left(\frac{(2n+1)|\sin 2n|- 2n|\sin (2n+1)| }{2n(2n+1)} \right)\\
&=\sum_{n=1}^N \left( \frac{|\sin 2n|-|\sin (2n+1)|}{2n+1}+\frac{|\sin 2n|}{2n(2n+1)}\right).
\end{align}
Por lo tanto, es suficiente para demostrar que la siguiente converge:
$$
S_N = \sum_{n=1}^N \frac{|\sen 2n|-|\sen (2n+1)|}{2n+1}.
$$
Consideramos una partición de $\mathbb{N}$ en cuatro conjuntos disjuntos $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$, $A_{4}$ definido por:
$$
A_{1}=\{n\in\mathbb{N}: \sen 2n >0, \sin (2n+1)>0\}, \ \ A_{2}=\{n\in\mathbb{N}: \sen 2n >0, \sin (2n+1)<0\},
$$
$$
A_{3}=\{n\in\mathbb{N}: \sen 2n <0, \sin (2n+1)>0\}, \ \ A_{4}=\{n\in\mathbb{N}: \sen 2n <0, \sin (2n+1)<0\}.
$$
Tenga en cuenta que
$$
A_{1}=\{n\in\mathbb{N}: 2n \ \mathrm{mod} \ 2\pi \en (0,\pi-1)\}, \ \ A_{2}=\{n\in\mathbb{N}: 2n \ \mathrm{mod} \ 2\pi \(\pi-1,\pi)\},$$
$$
A_{3}=\{n\in\mathbb{N}: 2n \ \mathrm{mod} \ 2\pi \en (-1,0)\}, \ \ A_{4}=\{n\in\mathbb{N}: 2n \ \mathrm{mod} \ 2\pi \(- \pi, -1)\}.$$
Por identidades trigonométricas,
$$
n\A_{1} \Longrightarrow |\sen 2n|-|\sen (2n+1)| = \sen 2n - \sin(2n+1) = -2\cos(2n+\frac12)\sin \frac12, $$
$$
n\A_{2} \Longrightarrow |\sen 2n|-|\sen (2n+1)| = \sen 2n + \sin(2n+1) = 2\sin(2n+\frac12)\cos \frac12, $$
$$
n\A_{3} \Longrightarrow |\sen 2n|-|\sen (2n+1)| = -\sin 2n - \sin(2n+1) = -2\sen(2n+\frac12)\cos\frac12, $$
$$
n\A_{4} \Longrightarrow |\sen 2n|-|\sen (2n+1)| = -\sin 2n + \sin(2n+1) = 2\cos(2n+\frac12)\sin \frac12.$$
Definimos
$$
f_1(x)=-I_{(0,\pi-1)}(x)2\cos(x+\frac12)\sin\frac12, \ \ f_2(x)=I_{(\pi-1,\pi)}(x)2\sin(x+\frac12)\cos\frac12,$$
$$
f_3(x)=-I_{(-1,0)}(x)2\sin(x+\frac12)\cos\frac12, \ \ f_4(x)=I_{(-\pi,-1)}(x)2\cos(x+\frac12)\sin\frac12 $$
donde $I_A$ es la función característica de a $A$. Tenga en cuenta que estas funciones $f_i(x)$ son de limitada variación en $[-\pi,\pi]$. Por lo tanto, $f=f_1+f_2+f_3+f_4$ es de variación acotada.
Necesitamos Koksma la desigualdad p. 143, Teorema 5.1 de http://web.maths.unsw.edu.au/~josefdick/memorias/KuipersNied_book.pdf:
Teorema [Koksma]
Deje $f$ ser una función en $I=[0,1]$ de variación acotada $V(f)$, y supongamos que tenemos $N$ $x_1, \ldots , x_N$ $I$ con discrepancia
$$
D_N:=\sup_{0\leq\leq b\leq 1} \left|\frac1N \#\{1\leq n\leq N: x_n \in (a,b) \} -(b-a)\right|.
$$
Entonces
$$
\left|\frac1N \sum_{n\leq N} f(x_n) - \int_I f(x)dx \right|\leq V(f)D_N.
$$
Para el control de la discrepancia, se aplica Erdos-Turan desigualdad p. 112, Teorema 2.5 de http://web.maths.unsw.edu.au/~josefdick/memorias/KuipersNied_book.pdf:
Teorema[Erdos-Turan]
Deje $x_1, \ldots, x_N$$N$$I=[0,1]$. Entonces, hay una absoluta constante $C>0$ tal que para cualquier entero positivo $m$,
$$
D_N\leq C \left( \frac1m+ \sum_{h=1}^m \frac1h \left| \frac1N\sum_{n=1}^N e^{2\pi i h x_n}\right|\right).
$$
La secuencia de nuestro interés es $x_n = 2n$ mod $2\pi$. Las dos desigualdades juntos aplicado a $f=f_1+f_2+f_3+f_4$ da como resultado el siguiente: Hay una absoluta constante $C>0$ tal que para cualquier entero positivo $m$,
$$
\left|\frac1N \sum_{n\leq N} f(x_n) - \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx \right|\leq C \left( \frac1m+ \frac1N\sum_{h=1}^m \frac1{h\langle \frac h{\pi} \rangle}\right).
$$
Un resultado sobre la irracionalidad de la medida de $\pi$ por Salikhov implica que
$$
\left| \frac1{\pi} - \frac pq \right| \geq \frac 1{q^{\mu+\epsilon}}
$$
para todos los enteros $p, q$ $q$ es lo suficientemente grande, y $\mu=7.6063$, $\epsilon>0$. Esto implica
$$
h\left\langle \frac h{\pi} \right\rangle \geq h^{2-\mu\epsilon}
$$
por lo suficientemente grande $h$. Luego de algunos absoluta constante $C>0$,
$$
\left|\frac1N \sum_{n\leq N} f(x_n) - \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx \right|\leq C \left( \frac1m+ \frac1N m^{\mu-1+\epsilon}\right).
$$
Tomando $m=\lfloor N^{1/\mu}\rfloor$, obtenemos
$$
\left|\frac1N \sum_{n\leq N} f(x_n) - \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx \right|\leq N C^{-\frac1{\mu}+\epsilon}.
$$
Es fácil ver que $\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = 0$. Por lo tanto,
$$
\left|\sum_{n\leq N}f(x_n)\right|\leq CN^{1-\frac1{\mu}+\epsilon}.
$$
La convergencia de la serie, sigue ahora la de Abel suma fórmula.
