¿Cómo se construye una función que es continua sobre $(0,1)$ cuya imagen es toda la línea real?

Question

¿Cómo se construye una función continua sobre el intervalo $(0,1)$ cuya imagen es toda la línea real?

Cuando vi por primera vez este problema, pensé $\frac{1}{x(x-1)}$ podría funcionar ya que es continua en $(0,1)$ pero cuando lo grafiqué, vi que hay un mínimo en $(1/2,4)$ por lo que la imagen es $[4,\infty)$ y no $(-\infty,\infty)$ .

Al parecer, una respuesta a esta pregunta es:

$$\frac{2x-1}{x(x-1)}$$

Pero, ¿cómo se puede llegar a esta respuesta sin utilizar una calculadora gráfica?

Answer 1

Espero que estés de acuerdo en que quieres funciones con asíntotas verticales en $0$ y $1$ por eso querías probar $\frac{1}{x(x-1)}$ . El problema es que, en el intervalo $(0,1)$ pasa a $-\infty$ ambos cerca de $0$ y cerca de $1$ (la forma más fácil de notarlo sin calculadora es observar que siempre es negativo).

¿Cómo podemos solucionar este problema? Multiplicando por una función continua que sea positiva cerca de $1$ (por lo que el producto sigue yendo a $-\infty$ cerca de $1$ ) y negativo cerca de $0$ (por lo que va a $+\infty$ cerca de $0$ ). Una función sencilla de este tipo es $2x-1$ .

Answer 2

Me gustaría proporcionar un sabor diferente de la función. Para $x \in (0,1)$

$$f(x) = \tan\bigg(\pi x-\frac{\pi}{2}\bigg)$$

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EDITAR : ¿Cómo llegamos al resultado anterior?

Comenzamos con $\tan(x)$ que es continua en $x \in (-\pi/2, \pi/2)$ cuya imagen es toda la recta real.

Queremos $x$ ser $(0,1)$ en su lugar. Así que una manera fácil es encontrar una transformación lineal (por lo tanto es continua) de $x$ transformar $x$ de $(-\pi/2, \pi/2)$ a $(0,1)$ .

Tenga en cuenta que si $\pi x \in (-\pi/2, \pi/2)$ entonces tenemos $x \in (-1/2, 1/2)$ .

Y si $(\pi x - \pi/2) \in (-\pi/2, \pi/2)$ entonces tenemos $x\in (0,1)$ y eso es lo que queremos.

Answer 3

Has obtenido una función simétrica respecto a $x=\frac{1}{2}$ es una "función par" excepto que es "par sobre $x=\frac{1}{2}$ "y no sobre $x=0$ .

Traducir a la izquierda por $\frac{1}{2}$ ; entonces has hecho una función par de buena fe ("par sobre $x=0$ "). Ahora, para obtener una función "impar sobre $x=\frac{1}{2}$ "basta con multiplicar la versión traducida por $x$ para obtener una función impar de buena fe, y luego traducir de nuevo. Eso es lo que ha hecho (hasta un factor de $2$ ).

Answer 4

Se trata de una pregunta habitual, a menudo sobre un mapa de funciones continuas $(-1,1)$ en $\mathbb{R}$ . Para que configuración, hace tiempo que disfruto de la Tangente hiperbólica inversa , $\tanh^{-1}$ como una función que hace exactamente el truco. Sin embargo, el intervalo con el que se empieza aquí es en cambio $(0,1)$ por lo que para utilizar esta función sería necesario asignar primero $(0,1) \rightarrow (-1,1)$ que puede hacerse mediante $x \mapsto 2x-1$ .

Y eso nos da otra respuesta: $x \mapsto \tanh^{-1}(2x-1)$ mapas $(0,1)$ en $\mathbb{R}$ .

Answer 5

¿Qué te parece?

$${(2x - 1)}\over{x(x - 1)}$$

O, mira el bronceado y escálalo un poco.

¿Cómo hacerlo sin calculadora gráfica? Aprende las formas de varias funciones sencillas, por ejemplo $x^2$ , $x^3$ y $1/x$ . Busca las funciones even e impar que otros han mencionado. Aprende lo que ocurre cuando sumas y mutiplicas funciones. Aprende a escalar y desplazar las funciones.

Yo no he utilizado una calculadora gráfica y supongo que los demás encuestados tampoco.