Cómo pensar en el anillo de grupo como un álgebra de Hopf?

Question

Dado un grupo finito $G$ y un campo de $K$, uno puede formar el anillo de grupo $K[G]$ como el vector libre del espacio en $G$ con la obvia la multiplicación. Esto es muy útil a la hora de estudiar la teoría de la representación de $G$$K$, como por ejemplo si $K=\mathbb{C}$, por el Teorema de Maschke y el Teorema de Wedderburn podemos escribir $\mathbb{C}[G] = \bigoplus_i \mathrm{M}_{n_i}(\mathbb{C})$, y cada factor corresponde a un $n_i$-dimensiones irreductibles representación de $G$.

Sin embargo, este proceso de descomposición del anillo de grupo no se recuerda tanto como sería inicialmente de la esperanza, por ejemplo, uno tiene que $\mathbb{C}[D_4] \cong \mathbb{C}[Q_8]$ donde $D_4$ es el diedro grupo de orden $8$ $Q_8$ es el grupo de cuaterniones. Así que uno no puede recuperar el grupo del anillo de grupo en general.

Una manera de remediar esto es mediante la imposición de una mayor estructura en el anillo de grupo $K[G]$. Por ejemplo, es un cocommutative álgebra de Hopf, y se puede recuperar en el grupo como en el conjunto del grupo-como los elementos en $K[G]$.

Dado que tenemos más información aquí para seguir la pista, y no estoy seguro de lo que el álgebra de Hopf "como se ve". ¿Hay algún tipo de estructura teorema que nos dice lo que el anillo de grupo se ve como un álgebra de Hopf, especialmente en términos de la teoría de la representación de $G$?

(Las respuestas de carácter general de la intuición sobre cómo pensar de álgebras de Hopf, en general, son más que bienvenidos.)

Answer 1

Así, en primer lugar el grupo de álgebra $K[G]$ tiene, además de su estructura de álgebra, un subproducto,

$$ \Delta: k[G] \rightarrow k[G] \otimes k[G] \\ g \mapsto g \otimes g $$ la antípoda, $$ S: k[G] \rightarrow k[G]\\ g \mapsto g^{-1} $$ y un counit $\epsilon:k[G] \rightarrow k$ envío de $g \mapsto 1$ todos los $g \in G$. Es estos mapas que dan a $k[G]$ la estructura de un Hopf algebgra.

En cuanto a estructura, teoremas de ir, hay varios. Estos son particularmente llamativo en el caso de la cohomology de un H-espacio de $X$ sobre un campo $k$ de característica 0, cuando Hopf demostrado que el álgebra de Hopf $H^\bullet(X; k)$ es:

1. Un exterior álgebra generada por homogéneos de grado impar si $H^\bullet(X;k)$ es finito dimensionales
2. Gratis clasificados-álgebra conmutativa si cada una de las $H^n(x;k)$ es finito dimensionales.

Puedo incluir estos resultados, ya que éstos proporcionan una motivación por lo que una estructura teorema de álgebras de Hopf parece, y algunas contexto histórico, ya que estos objetos fueron la motivación para la definición de un álgebra de Hopf. La medida más general de la estructura de los teoremas de álgebras de Hopf ir allí están algunos de los magníficos resultados de Cartier, Gabriel y Milnor-Moore. Aquí hay dos teoremas:

Para el primer teorema de la nota que $U(\mathfrak{g})$ denota el universal que envuelve el álgebra. Debo señalar aquí que $k[G]$ es un ejemplo de un cocommutative álgebra de Hopf.

Teorema (Cartier-Gabriel) Suponga que $k$ es algebraicamente cerrado, que $A$ es un cocommutative álgebra de Hopf. Deje $\mathfrak{g}$ ser el espacio de elementos primitivos, y $\Gamma$ el grupo de grupo como los elementos en $A$. A continuación, hay un isomorfismo de $\Gamma \ltimes U(\mathfrak{g})$ a $A$ como álgebras de Hopf, la inducción de la identidad en $\Gamma$ y en $\mathfrak{g}$.

Teorema (Milnor-Moore) Deje $A = \bigoplus_{n \geq0}A_n$ ser gradual álgebra de Hopf sobre $k$. Asumir

1. $A_0=k$ (se dice $A$ está conectado en este caso [SUGERENCIA: piense acerca de motivar ejemplo de arriba!])
2. El producto en $A$ es conmutativa

A continuación, $A$ es un servicio gratuito de álgebra conmutativa (un polinomio de álgebra) generado por homogéneos.

Referencia: Pierre Cartier tiene una encuesta papel que se llama "Un manual de álgebras de Hopf" que tiene todo esto, y mucho más. Hay aún más la estructura de los teoremas de álgebras de Hopf, pero que son muy difíciles de estado sin la adición de más definiciones (por ejemplo, conilpotent), que acaba de tomar demasiado tiempo aquí.

Answer 2

Si usted quiere tener una buena intuición sobre álgebras de Hopf, sugiero ver el espectro de una afín algebraica de grupo. Cada variedad afín $V$ corresponde a un álgebra $A$. Un álgebra de Hopf de la estructura en $A$ equipa la variedad $V$, con una multiplicación, la identidad y la inversión.

Sideremark: veo otra pregunta implícitamente aquí. Usted puede recuperar un grupo compacto de su teoría de la representación. Esto se llama Tannaka Krein la dualidad.