Me enfrenté a una pregunta en el libro "Matemática discreta" de Rosen. La pregunta es la siguiente:
Determinar si el argumento es válido:
Si $n$ es un número real con $n > 3$, entonces el $n^2 > 9$: Supongamos que $n^2 \le 9$. Entonces $n \le 3$.
Realmente creo que este argumento es válido utilizando el modus tollens, pero la respuesta mencionada al final del libro es esta: "la falacia de petición de la pregunta".
¿Alguien puede explicar esto para mí? Gracias.
No está claro a partir de la redacción en su comilla si la declaración de la "Si $n$ es un número real con $n > 3$, $n^2 > 9$" es una premisa o la declaración de que estamos tratando de probar.
Si se trata de una premisa, y estamos tratando de utilizar para demostrar que $n \le 3$, teniendo en cuenta el supuesto de que $n^2 \le 9$, entonces el argumento es de hecho correcta: dado $A \implies B$, podemos deducir $\lnot A$$\lnot B$.
Si, por el contrario, la primera instrucción en el citado argumento que se supone será el teorema de la que estamos tratando de demostrar, entonces la prueba no es válida. Mientras nos podría , de hecho, deducir $n > 3 \implies n^2 > 9$ $n^2 \le 9 \implies n \le 3$ (estas dos declaraciones lógicamente equivalente), el citado argumento contiene nada que pueda ser utilizado para acreditar $n^2 \le 9 \implies n \le 3$ en el primer lugar, a menos que asumen incorrectamente la afirmación de que estamos tratando de demostrar (o algo más que no ha sido explícitamente).
Presumiblemente, el libro que estás leyendo explica cómo los argumentos en que se va a analizar. En particular, si los argumentos en el libro están escritos en el formato de "Teorema de ser demostrado: la Prueba del teorema," entonces este particular argumento no es válido; si están en lugar destinado a ser analizado como "premisas Establecidas: Supuestos. El resultado," entonces es válido.
Por desgracia, si bien existen varias convenciones establecidas como este, ninguno es bastante universal suficiente para suponer con seguridad, sin saber que la convención de la autora de la siguiente manera. Al escribir las pruebas a ti mismo, para evitar esta confusión es generalmente una buena idea clara y explícitamente indican que las declaraciones son axiomas o antes de teoremas, que son temporales supuestos, y que son los nuevos teoremas que usted está tratando de demostrar.
No es realmente una prueba, ese es el problema. A reformulación de la declaración y luego afirma que es evidente. Si el argumentista realmente demostró eso si $n^2 \leq 9$ y $n \leq 3$, sería una prueba válida por contraposición.
Es como decir: "se demuestra el último teorema de Fermat. De hecho, que $n \geq 3$. Entonces equivale a $x^n + y^n = z^n$ $y^n + x^n = z^n$, que nunca sucede, así que hemos terminado. ".
Creo que esta puede ser una mutua incomprensión entre usted y el libro de texto con el símbolo ":" en el libro de texto de la pregunta.
El libro de texto el significado de ":" parece ser "Porque".
Tomando eso como los ":", es decir, el argumento es:
Si n es un número real con n>3, entonces n^2>9 (porque) si n^2≤9, entonces n≤3.
Por lo tanto, si la segunda parte (if n^2≤9, then n≤3) se supone que es un argumento en favor de la implicación n>3==>n^2>9, que en realidad no es, como se acaba de re-afirmando (mendicidad) la cuestión.
Mientras que usted (y, fíjense, yo así) sería : "así como "por tanto", lo que es una legítima modus tollens:
Si n es un número real con n>3, entonces n^2>9 (por lo tanto), si n^2≤9, entonces n≤3.
Edit: Mis disculpas por no darse cuenta - esto es en realidad lo que @Ilmari Karonen escribió en su anterior respuesta.
Es sólo un error de imprenta.
Consulte la página S-9 de la 7ª edición (2013): hay respuestas para las preguntas 19 a), b), c) y d), en el Ejercicio 19 (Ch.1.6, página 79) tiene sólo tres preguntas.
Tu duda es relativa a la pregunta:
19 b) Si $n$ es un número real con $n > 3$,$n^2 > 9$. Supongamos que $n^2 ≤ 9$. A continuación,$n ≤ 3$.
La respuesta dice:
19 c) argumento Válido el uso de modus tollens.
En 5ª ed (2002), tenemos (Ex.13, página 75) cuatro de los casos, donde el 19 b) de 6 y 7 ediciones es numerado c); en esta edición contamos con un adicional de b) (suprimido de las sucesivas ediciones):
El número de $\log_2 3$ es irracional si no es el cociente de dos números enteros. Por lo tanto, desde el $\log_2 3$ no puede ser escrita en la forma $a/b$...
que es claramente un ejemplo de razonamiento circular (también conocido como la mendicidad, la pregunta).
El argumento:
$$ \cfrac{p \a q \ \ \ \lnot q} {\, por tanto \lnot p} $$
es claramente válido.
La afirmación es de la forma:
Si, a continuación, B.
El argumento es de la forma:
Si no B, entonces no A. [por lo Tanto si, a continuación, B.]
El argumento no es válido porque no todos los pasos se justifica. Peor aún, el argumento no es ni siquiera de un sonido en el formulario, ya que dependía de nada acerca de a y B, y por lo tanto puede ser utilizado para probar:
Si $n \le 1$$n^2 \le 1$.
Se podría objetar a esto, diciendo, "¿por Qué no asumiendo $n \le 1$ permiten deducir $n^2 \le 1$?" Y me gustaría objeto exactamente de la misma manera que el argumento no válido:
¿Por qué asumiendo $n^2 \le 9$ permiten deducir $n \le 3$?
Que es en última instancia, ¿por qué el libro de texto califica como (esencialmente):
Rogando a la pregunta.
Debido a que es mucho más difícil justificar la injustificada de la deducción de la regla de "no B implica no Un" uno puede deducir que "A implica B". A menudo en matemáticas uno ni siquiera se molestan en justificar puramente lógicas, reglas de inferencia como estos.
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