Existencia de un elemento en un grupo de cierto orden si existe un elemento de otro orden

Question

Demuestre que si un grupo $G$ de orden $1089=3^2\cdot 11^2$ contiene un elemento de orden $9$ entonces también contiene un elemento de orden $33$ .

Intenté ver qué dirían los teoremas de Sylow para este problema pero no pude concluir nada sobre el orden $(33)$ de un elemento del grupo.

¿Cómo abordar este problema? Se agradecería cualquier pista. Gracias.

Answer 1

Por el teorema de Sylow el número de subgrupos de orden $11^2$ en $G$ es $1$ . Llama a ese grupo $S$ y observar que un $3$ -Subgrupo de bajos $P=\langle x\rangle$ actúa sobre $S$ . Si $P$ actúa trivialmente hay obviamente un elemento de orden $33$ (sólo toma $x^3*y$ donde $y$ es de orden $11$ ).

Así que supongamos que $x$ no actúa de forma trivial. Ahora bien $S\cong C_{11}^2$ o $S\cong C_{121}$ .

En este último caso, el grupo de automorfismo de $S$ tiene orden $110$ que no está dividido por $3$ y por lo tanto no permite una acción no trivial de $P$ en $S$ .

En el primer caso el grupo de automorfismo es isomorfo a $\mathrm{GL}_2(11)$ de orden $120*110$ que es divisible por $3$ exactamente una vez. Por lo tanto, $x$ actúa como elemento de orden $3$ en $S$ y así $x^3$ actúa de forma trivial. Nuevamente tome $x^3*y$ para cualquier $y$ de orden $11$ para obtener un elemento de orden $33$ .

Answer 2

Un resultado más general sería que cualquier grupo de orden 1089 contiene un elemento de orden 33.

Dejemos que $P$ sea el subgrupo Sylow 11 de $G$ . Entonces, $P$ es normal en $G$ . Supongamos que $P = C_G(P)$ . Entonces, por el lema N/C (Rotman, An introduction to Group theory, Theorem 7.1 (i)), $G/P$ es isomorfo a un subgrupo del grupo de $Aut(P)$ que es del orden de 110 o 13200. Dado que $|G/P|=9$ Tenemos que 9 divide a 110 o 13200, lo cual es una contradicción. Así que $P \neq C_G(P)$ . Sea $y \in C_G(P) \setminus P$ y $x \in P$ tal que el orden de $x$ es 11, tal elemento $x$ siempre existen. Dado que $P$ es normal en $G$ , 3 divide el orden de $y$ y por tanto existe un número entero $m$ tal que el orden de $x^m$ es 3 y $x^my$ es un elemento de orden 33.