desintegración radiactiva

Question

Problema:los Núcleos de un elemento radiactivo $\Bbb X$ tener caries constante $\lambda$ , ( se desintegra en otro de los núcleos estable $\Bbb Y$ ) está siendo producido por algún proceso externo a una tasa constante $\Lambda$.Calcular el número de núcleos de $\Bbb X$ $\Bbb Y$ $t_{1/2}$

Traté de crear una ecuación para la tasa de cambio del número de núcleos de una:

$$\dfrac{dN_{X}}{dt}=\Lambda-N_X\lambda $$

Lo hice porque en simple decaimiento $\dfrac{dN}{dt}=-\lambda N$ mantiene y aquí también está siendo producido por el ritmo. Pero después de la integración debemos escribir $$ln\Bigg(\dfrac{\lambda N_X-\Lambda}{\lambda N_0-\Lambda}\Bigg)=-\lambda t$$ o $$ln\Bigg(\dfrac{\lambda N_X-\Lambda}{N_0}\Bigg)=-\lambda t$$ First one because limit was on $N: (N_0\N)$ Y la próxima lo de sustituir a las $t$ (es decir. ¿qué es $t_{1/2}$? $ln2/\lambda$ o algo más?)

También cómo hacerlo para $\Bbb Y$? Simplemente escriba $$\dfrac{dN_Y}{dt}=\lambda N_x $$?

Answer 1

La primera de las ecuaciones es la correcta. Usted puede ver esto en dos maneras. En primer lugar, basta con mirar en las dimensiones. En general, el argumento de un logaritmo debe ser adimensional; sólo su primera opción. Segundo, y tal vez de manera más convincente, mire lo que usted consigue cuando usted tome $\Lambda \to0$. Usted debe ser capaz de reproducir el estándar de la ecuación de descomposición: \begin{equation} N_X(t) = N_0\, e^{-\lambda\, t}~. \end{equation} En su primera ecuación, los factores de $\lambda$ sobre el lado izquierdo cancelar, y se obtiene este resultado. Con su segunda ecuación, se obtiene $N_X(t) = \frac{N_0}{\lambda}\, e^{-\lambda\, t}$. Así que tiene que estar mal.

En cuanto a lo $t_{1/2}$ es, seguramente debe ser la vida media de $\mathbb{X}$ (sin creación). En particular, si $\Lambda$ es lo suficientemente grande, $N_X$ crecen, así que no hay tiempo en el cual la mitad del material es a la izquierda. Desde $\mathbb{Y}$ es estable, se puede asumir que no hay pertinentes de la mitad de la vida no.

También, su expresión para $N_Y$ es correcta. Es un poco más difícil la integración, pero no demasiado malo.

Answer 2

Así que aquí está lo que hice, discretizar el problema y deducido $N_x$ y $N_y$ en un $t_n$. Estos sucedieron incluir sumas que fácilmente podrían transformarse en integrales. A saber: $$N_x(t_n)=N_0e^{-\lambda t_n}+\Lambda\sum_{i=0}^n\Delta t_ie^{-\lambda(t_n-t_i)}$ $ $$N_y(t_n)=N_0(1-e^{-\lambda t_n})+\Lambda\sum_{i=0}^n\Delta t_i(1-e^{-\lambda(t_n-t_i)})$ $

Como resultado, encontré lo siguiente:

$$N_x(t)~=~N_0e^{-\lambda t}+{\Lambda\over\lambda}(1-e^{-\lambda t})$$ $$N_y(t)~=~N_0(1-e^{-\lambda t})-{\Lambda\over\lambda}(1-e^{-\lambda t})+\Lambda t$$

$t_{1\over2}={ln(2)\over\lambda}$, $e^{-\lambda t}={1\over2}$, Por lo tanto: $$N_x(t_{1\over2})~=~{N_0+{\Lambda\over\lambda}\over2}$ $ $$N_y(t_{1\over2})~=~{N_0\over2}+{\Lambda\over\lambda}(ln(2)-{1\over2})$ $