Mejor prueba $\frac{1+\cos x + \sin x}{1 - \cos x + \sin x} \equiv \frac{1+\cos x}{\sin x}$

Question

Es necesario para demostrar que $$\frac{1+\cos x + \sin x}{1 - \cos x + \sin x} \equiv \frac{1+\cos x}{\sin x}$ $ me las arreglé para salir él dos formas:

1. Asumir que posee: $$\frac{1+\cos x + \sin x}{1 - \cos x + \sin x} \equiv \frac{1+\cos x}{\sin x}$ $ $$\Longleftrightarrow\sin x(1+\cos x+\sin x)\equiv(1+\cos x)(1-\cos x+\sin x)$ $ $$\Longleftrightarrow\sin x+\cos x\sin x+\sin^2 x\equiv1-\cos x+\sin x+\cos x-\cos^2 x+\sin x \cos x$ $ $$\Longleftrightarrow\sin^2 x\equiv1-\cos^2 x$ $ $$\Longleftrightarrow\cos^2 x +\sin^2 x\equiv1$ $ $$\Longleftrightarrow true$ $
2. Multiplicándose a través por el conjugado del denominador: $$LHS\equiv\frac{1+\cos x + \sin x}{1 - \cos x + \sin x} $ $ $$\equiv\frac{1+\cos x + \sin x}{1 - (\cos x - \sin x)} ~~\cdot ~~\frac{1+(\cos x - \sin x)}{1 +(\cos x - \sin x)}$ $ $$\equiv\frac{(1+\cos x + \sin x)(1+\cos x - \sin x)}{1 - (\cos x - \sin x)^2}$ $ $$\equiv\frac{1+\cos x - \sin x+\cos x + \cos^2 x - \sin x \cos x+\sin x + \sin x \cos x - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x - \sin^2 x + 2\sin x \cos x}$ $ $$\equiv\frac{1+ 2\cos x + \cos^2 x- \sin^2 x}{2\sin x \cos x}$ $ $$\equiv\frac{1+ 2\cos x + \cos^2 x- 1 + \cos^2 x}{2\sin x \cos x}$ $ $$\equiv\frac{2\cos x (1+\cos x)}{2\cos x(\sin x)}$ $ $$\equiv\frac{1+\cos x}{\sin x}$ $ $$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\equiv RHS~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\square$ $ ambos métodos de prueba sensación innecesariamente complicada o poco elegante. ¿Hay una manera más intuitiva más simple de ir sobre esto? Gracias.

Answer 1

Desde $1-\cos^2 x = \sin^2 x$, tenemos $f(x) := \dfrac{1+\cos x}{\sin x} = \dfrac{\sin x}{1-\cos x}$. Por lo tanto,

\begin{align*}\dfrac{1+\cos x + \sin x}{1-\cos x + \sin x} &= \dfrac{f(x)\sin x + f(x)(1-\cos x)}{1-\cos x + \sin x} \\ &= \dfrac{f(x)[1-\cos x + \sin x]}{1-\cos x + \sin x} \\ &= f(x) \\ &= \dfrac{1+\cos x}{\sin x}.\end{align*}

Answer 2

Para la diversión, he creado un trigonograph:

$$\frac{1 + \cos\theta + \sin\theta}{1 + \sin\theta - \cos\theta} = \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta}$$

Answer 3

Observar $$(1 - \cos x + \sin x)(1 + \cos x) = (1 - \cos^2 x) + (1 + \cos x)\sin x = \sin^2 x + (1 + \cos x)\sin x = (1 + \cos x + \sin x)\sin x,$ $ que sigue inmediatamente el resultado.

Answer 4

Si \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k $$ $$ entonces $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{kb+kd}{b+d} = k = \frac{a}{b} $$ desde $$1-\cos^2 x =(1+\cos x)(1-\cos x) =\sin^2 x$ $ hemos $$ \frac{1+\cos x} {\sin x} = \frac{\sin x} {\cos 1 x} = \frac{1+\cos x + \sin x} {1 - \cos x + \sin x} $$

Answer 5

Alternativamente, usando abreviaturas $c=\cos x$ y $s=\sin x$ tenemos $$ s(1+c+s)=s(1+c) + s ^ 2 = s(1+c) + 1-c^2=s(1+c)+(1-c)(1+c)=(1+s-c)(1+c) $$