¿Por qué $\tan^{-1}(1)+\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)=\pi$ ?

Question

Jugando en wolframalpha muestra $\tan^{-1}(1)+\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)=\pi$ . Lo sé. $\tan^{-1}(1)=\pi/4$ pero ¿cómo se podría calcular que $\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)=\frac{3}{4}\pi$ para obtener este resultado?

Answer 1

Considere $O=(0,0)$ , $A=(1,1)$ , $B=(-1,3)$ , $D=(1,-3)$ , $E=(1,0)$ .

\begin{align} 2 &= \frac{AB}{AO} = \tan \angle AOB \\ 1 &= \frac{AE}{EO} = \tan \angle AOE \\ 3 &= \frac{DE}{DO} = \tan \angle DOE \end{align}

Los puntos B, O y D son colineales, es decir. $\angle BOD = \tan^{-1}2+\tan^{-1}1+\tan^{-1}3 = \pi$ .

Answer 2

Prueba sin palabras

$\tan^{-1} 1+\tan^{-1} 2+\tan^{-1} 3 =\pi$ .

Answer 3

La forma más sencilla es utilizar números complejos. Es un cálculo trivial demostrar que $$(1+i)(1+2i)(1+3i)=-10$$ Recordemos ahora la descripción geométrica de la multiplicación compleja (multiplicar las longitudes y sumar los ángulos), y tomemos el argumento a ambos lados de esta ecuación. El resultado es $$\tan^{-1}(1)+\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)=\pi$$

Answer 4

$$\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)=\tan^{-1}{\left(\frac{2+3}{1-2\cdot 3}\right)}=\tan^{-1}(-1)=n\pi-\frac \pi 4,$$ donde $n$ es cualquier número entero.

Ahora el valor principal de $\tan^{-1}(x)$ se encuentra en $[-\frac \pi 2, \frac \pi 2]$ precisamente en $(0, \frac \pi 2)$ si es finito $x>0$ . Por lo tanto, el valor principal de $\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)$ yacerá en $(0, \pi) $ .

Por lo tanto, el valor principal de $\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)$ será $\frac {3\pi} 4$ .

Curiosamente, el valor principal de $\tan^{-1}(-1)$ es $-\frac {\pi} 4$ .

Pero los valores generales de $\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)$ y $\tan^{-1}(-1)$ son iguales.

Alternativamente, $$\tan^{-1}(1)+\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)=\tan^{-1}{\left(\frac{1+2+3-1\cdot 2\cdot 3}{1-1\cdot 2- 2\cdot 3 -3\cdot 1}\right)}=\tan^{-1}(0)=m\pi$$ donde $m$ es cualquier número entero.

Ahora el valor principal de $\tan^{-1}(1)+\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)$ yacerá en $(0 ,\frac {3\pi} 2)$ que es $\pi$ .

El valor principal de $\tan^{-1}(0)$ es $0\neq \pi$ .

Answer 5

Tenga en cuenta que $$ \tan \left(\arctan(1+z) + \arctan\left(2 + z + z^2 \right) + \arctan \left( 3+3\,z+4\,{z}^{2}+2\,{z}^{3}+{z}^{4} \right) \right)=z $$ para que $$\arctan(1+z) + \arctan\left(2 + z + z^2 \right) + \arctan \left( 3+3\,z+4\,{z}^{2}+2\,{z}^{3}+{z}^{4} \right) = \arctan(z) + n \pi $$ para el número entero apropiado $n$ . Para números enteros $z$ obtenemos interesantes identidades arctan de esto.

$$\eqalign{ \arctan(1) + \arctan\left(2\right)+ \arctan\left(3\right) &= \pi \cr \arctan(2) + \arctan(4) + \arctan(13) &= \arctan(1) + \pi \cr \arctan(3) + \arctan(8) + \arctan(57) &= \arctan(2) + \pi \cr \arctan(4) + \arctan(14) + \arctan(183) &= \arctan(3) + \pi \cr}$$ etc.