$$\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)=\tan^{-1}{\left(\frac{2+3}{1-2\cdot 3}\right)}=\tan^{-1}(-1)=n\pi-\frac \pi 4,$$ donde $n$ es cualquier número entero.
Ahora el valor principal de $\tan^{-1}(x)$ se encuentra en $[-\frac \pi 2, \frac \pi 2]$ precisamente en $(0, \frac \pi 2)$ si es finito $x>0$ . Por lo tanto, el valor principal de $\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)$ yacerá en $(0, \pi) $ .
Por lo tanto, el valor principal de $\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)$ será $\frac {3\pi} 4$ .
Curiosamente, el valor principal de $\tan^{-1}(-1)$ es $-\frac {\pi} 4$ .
Pero los valores generales de $\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)$ y $\tan^{-1}(-1)$ son iguales.
Alternativamente, $$\tan^{-1}(1)+\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)=\tan^{-1}{\left(\frac{1+2+3-1\cdot 2\cdot 3}{1-1\cdot 2- 2\cdot 3 -3\cdot 1}\right)}=\tan^{-1}(0)=m\pi$$ donde $m$ es cualquier número entero.
Ahora el valor principal de $\tan^{-1}(1)+\tan^{-1}(2)+\tan^{-1}(3)$ yacerá en $(0 ,\frac {3\pi} 2)$ que es $\pi$ .
El valor principal de $\tan^{-1}(0)$ es $0\neq \pi$ .
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En general, es cierto que $\tan^{-1}(a) + \tan^{-1}(b) + \tan^{-1}(c) = \pi$ cuando $a+b+c=abc$ (y $a,b,c$ positivo). Esto es lo contrario de lo que se demuestra aquí .