¿Cómo se resuelve este problema de probabilidad de forma aleatoria a partir de bolas de una urna?

Question

En una urna hay bolas de #% azul de #% % y $a$ carmín bolas, $c$. Para comenzar con, usted escoge al azar una bola, tiro lejos y entonces cada vez que al azar escoge una bola, si tiene el mismo color con su predecesor, tiro, de lo contrario ponerlo de nuevo. Entonces ¿cuál es la probabilidad de que la última lanzada de la urna es azul?

Por ejemplo, una posible ronda:

draw    urn
----------------
        AAACCCCC
A       AACCCCC
C       AACCCCC
C       AACCCC
C       AACCC
A       AACCC
C       AACCC
A       AACCC
C       AACCC
C       AACC
C       AAC
C       AA
A       AA
A       A
A       -

En esta ronda, el último lanzado es una bola azul.

Answer 1

Como Chris escribió en un comentario, el color de los descartado previamente la bola debe ser incluido en el estado. Para denotar la probabilidad de que el último de $a$ azure bolas y $c$ carmine bolas que se descarta es azure por $A(a,c)$ si el descartado previamente la pelota fue azure, y por $C(a,c)$ si fue carmín. Entonces

$$A(a,c)=\frac a{a+c}A(a-1,c)+\frac c{a+c}C(a,c)$$

y

$$C(a,c)=\frac a{a+c}A(a,c)+\frac c{a+c}C(a,c-1)\;.$$

Sustituyendo estas ecuaciones en cada uno de los otros conduce a la repetición

$$A(a,c)=\frac a{a+c}A(a-1,c)+\frac c{a+c}\left(\frac a{a+c}A(a,c)+\frac c{a+c}C(a,c-1)\right)$$

y

$$C(a,c)=\frac a{a+c}\left(\frac a{a+c}A(a-1,c)+\frac c{a+c}C(a,c)\right)+\frac c{a+c}C(a,c-1)\;,$$

que simplificar para

$$ (a^2+ca+c^2) (a,c)=(a^2+ca)a(a-1,c)+c^2 C(a,c-1) $$

y

$$ (a^2+ca+c^2)C(a,c)=a^2A(a-1,c)+(ac+c^2)C(a,c-1)\;, $$

respectivamente.

Las condiciones iniciales son $A(a,1)=1$, $C(1,c)=0$, $A(0,c)=0$ para$c\gt1$$C(a,0)=1$$a\gt1$.

Yo actualmente no ver cómo solucionar este en forma cerrada; voy a calcular algunos valores, consulte OEIS y pensar asymptotics cuando tengo más tiempo más adelante.

Answer 2

Este es ejercicio 1.8.25 de probabilidad y procesos aleatorios Grimmett y Stirzaker. La respuesta es 1/2 y puede ser demostrada para ser verdad por inducción.