Terminología en el forzamiento

Question

En el contexto de forzar a uno lee la relación $p \leq q$ en un poset $P$ " $p$ extends $q$". Un ejemplo típico es el poset $P$ finito de funciones parciales, donde se define el $p \leq q$ al $q \subseteq p$. También, se dice que un subconjunto $D \subseteq P$ denso si $\forall p \in P \exists d \in D (d \leq p)$.

Esto se contradice con mi intuición. No $p \leq q$ significa que $q$ es mayor que $p$, o que $q$ lleva más información de la $p$? ¿Por qué los textos sobre obligando a cambiar esta realidad? Durante la lectura, siempre tengo que rectificar esta notación con el fin de entender el significado. También me pregunto ¿de qué densidad tiene que ver con las habituales nociones de densidad.

Por supuesto, todo esto es sólo una cuestión de terminología, ya que cada poset $(P,\leq)$ tiene un doble poset $(P,\geq)$ etc.

Answer 1

Hay dos convenios de aquí. Sela y sus colaboradores (por ejemplo) el uso de la versión que indican como "más natural": Que si $p\le q$, $q$ es una condición más fuerte, la realización de más información.

Muchas personas en los Estados (incluido yo mismo) usar el otro convenio. La razón es que, al pasar a la Booleano de la finalización de la poset, de hecho, $p\le q$ corresponde ahora a $p$ cargar más información. Esto se explica detenidamente en algunos lugares. Kunen de la teoría de conjuntos libro (1ª ed.) cubre en el Capítulo II, sección 3, en particular Lema 3.3.

Algunas personas tratan de evitar el problema (Capataz hace en algunos documentos), considerando solamente la separación de posets y, a continuación, escribir $p\Vdash q$ " $p$ lleva más información de la $q$".

Lema 3.3 en Kunen del libro, mencionado anteriormente, es también una referencia para los naturales de la topología en un poset $\mathbb P$. Aquí, un básico conjunto abierto es un $N_p$ donde, por $p\in\mathbb P$, podemos establecer $N_p=\{q\in\mathbb P\mid q$ es más fuerte que el $p\}$. El término "densidad", que usted pregunta, es solo topológico de la densidad con respecto a esta topología.

De nuevo el uso de esta topología, el Booleano terminación $\mathcal B$ $\mathbb P$ es obtenido considerando la colección regular de abrir los subconjuntos de a $\mathbb P$. Recordemos que un conjunto abierto es regular iff coincide con el interior de su cierre. El orden en $\mathcal B$ es simplemente contención: $A\le B$ fib $A\subseteq B$. El álgebra de boole las operaciones son definidas como de costumbre en los términos de este ordenamiento. Este es de hecho un completo álgebra Booleana. El mapa de $i$ envío de $p$ para el interior de la clausura de la $N_p$ es una función de $\mathbb P$ a $\mathcal B\setminus\{0\}$ con densa gama. Si $p$ lleva más información de la $q$,$i(p)\le i(q)$, y si $p\perp q$$i(p)\cdot i(q)=0$. Obligando a con $\mathbb P$ es equivalente a forzar con $\mathcal B$, y algunos autores prefieren pensar en forzar en términos de Boolean valores de los modelos, lo que favorece a la segunda convención.