Primero algunas definiciones para dejar claro de qué estoy hablando:
Un sistema deductivo es un conjunto $J$ de los juicios junto con un total $R$ de las reglas de inferencia cada uno de la forma $$ j_0 \leftarrow j_1, j_2, \ldots, j_k \qquad\qquad(k\ge 0)$$ donde $j_0$ es un juicio que se llama la conclusión de la regla y el otro $j_i$s son locales.
(Para mi los presentes efectos, yo no estoy interesado en la estructura interna de las sentencias, a pesar de que es habitual asumir que $J$ es fácilmente reconocible lenguaje formal a través de algunas alfabeto y que $R$ es la unión de un número finito fácilmente decidable subconjuntos de a $J\times J^*$. Un "axioma" en esta definición sólo es una regla de inferencia con cero local).
Al $A$ es cualquier (posiblemente infinita) conjunto de juicios y $j$ es cierto criterio, podemos decir que $j$ puede ser derivado de Una, escrita $A\vdash j$ fib no es una secuencia finita de las sentencias terminan con $j$, de tal manera que cada elemento de la secuencia es un miembro de $A$ o es la conclusión de una regla de inferencia cuyas instalaciones todos aparecen anteriormente en la secuencia. (En la notación $A \vdash j$ podemos escribir $A$ como una lista sin soportes, así, en particular, "$\vdash j$ " significa $\varnothing\vdash j$.)
(Equivalentemente, $A\vdash j$ si hay un árbol (o punta dag) cuyo interior nodos están etiquetados con (hormigón) las reglas de inferencia y las hojas con elementos de $A$, y los bordes que se conectan los locales con las conclusiones de la manera obvia, y la raíz concluye $j$).
Este marco funciona bien para describir Hilbert-estilo de la lógica. A continuación, los "juicios" son bien formado fórmulas, y las reglas de inferencia son todos los casos de modus ponens, la lógica de los axiomas, las primitivas reglas de los cuantificadores y así sucesivamente. Si tenemos una teoría particular de la lógica, podemos elegir entre la elevación de su no-lógicas de los axiomas a nullary reglas de inferencia (por lo tanto la fusión de la lógica y la teoría en un único sistema deductivo), o para poner el conjunto de la no-lógica de los axiomas a la izquierda de la puerta de entrada y diciendo que $\phi$ es un thorem iff $T\vdash\phi$ en el sistema deductivo de la lógica pura.
El marco también permite la deducción natural (con ambientes) o secuente de cálculo para ser deductivo sistemas. En el segundo caso, los juicios son sequents, y la mayoría de las inferencias reglas no son axiomas. Pero hay una anotación problema aquí, porque sequents propios se escriben con un torniquete de símbolos, que choca con lo anterior el uso de un torniquete para afirmar la existencia de una prueba formal de una sentencia.
Mi pregunta: ¿hay un sistema bien establecido de manera simbólica a distinguir entre el "exterior" de los torniquetes que afirman que algunos de los juicios pueden ser derivadas a partir de otras, y el "interior" de torniquetes que son "signos de puntuación" en la sintaxis de sequents? Hay mejores palabras para explicar la diferencia entre estas dos funciones de la larga engorroso descripción que he dado aquí?
Como un ejemplo de lo que me gustaría expresar, supongamos que escribimos el exterior de los torniquetes como $\Vdash$. Entonces podríamos hablar de una "meta-teorema de la deducción" por el secuente cálculo:
$\Vdash (\Gamma, \phi \vdash \psi)$ si y sólo si $(\Gamma \vdash \phi)\Vdash(\Gamma \vdash\psi)$.
