$ \sum_{k=1}^{\infty} \ln{\left(1 + \frac{1}{4 k^2}\right)}$ Informática esta suma

Question

Calcular el límite:

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \ln{\left(1 + \frac{1}{4 k^2}\right)}$$

Mi profesora dice que puede ser solucionado usando sólo conocimiento de la alta escuela, pero no veo cómo. ¿Qué trato? Bueno, pensé en sumas de Riemann pero veo no hay forma de conectarse esta suma. Gracias.

estoy solamente interesado en una solución a nivel de secundaria si es posible!

ACTUALIZACIÓN: Ahora, yo soy mi propio maestro.

Answer 1

Una posible solución:

$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{+ \infty} \ln \left( 1+ \frac{1}{4k^2} \right)= \ln \left( \prod\limits_{k=1}^{+ \infty} \left( 1+ \frac{1}{4k^2} \right) \right)$. Utilizando la fórmula de Euler, $ \displaystyle \prod\limits_{k=1}^{+ \infty} \left( 1+ \frac{1}{4k^2} \right)= -i\frac{2}{\pi} \sin \left( i \frac{\pi}{2} \right)= \frac{2}{\pi} \sinh \left( \frac{\pi}{2} \right) $.

Por último, $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{+ \infty} \ln \left(1+ \frac{1}{4k^2} \right)= \ln \left( \frac{2}{\pi} \sinh \left( \frac{\pi}{2} \right) \right)$.

Answer 2

$f(x)=\ln\left(1+\frac{1}{4x^2}\right)$ $[1,+\infty)$ De tomar y ver que $f'(x)=-\frac{1}{2x^3(1+1/4x^2)}$ y luego decrece en $[1,+\infty)$. $f(x)$ también es positiva y continua así que usted puede utilizar la prueba integral $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}\ln\left(1+\frac{1}{4k^2}\right)}$:

$$\int_1^{+\infty}\ln\left(1+\frac{1}{4x^2}\right)dx$$

Usando integrales por partes, tienes la respuesta siguiente como un límite superior:

$$\int_1^{+\infty}\ln\left(1+\frac{1}{4x^2}\right)dx=[-2\ln(2)x+x\ln(4+1/x^2)+\arctan(2x)]\big|_{x=1}^{+\infty}\\=2\ln(2)-\arctan(2)-\ln(5)+(1/2)\pi$$

Para resolver la integral toma $\displaystyle{u=\ln\left(1+\frac{1}{4x^2}\right)}$ y $dv=dx$. :-)

Answer 3

La suma equivale a $ \ln\Bigl(\frac{2}{\pi}\sinh\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)\Bigr)=\ln\Bigl(\frac{e^{\pi/2}-e^{-\pi/2}}{\pi}\Bigr). $$ Puede obtenerse evaluando en $z=i\pi/2$ la fórmula del producto para el seno de la función $$ \sin z = z\, \prod_ {k = 1} ^ \infty\Bigl (1-\frac {z ^ 2} \Bigr {\pi^2n^2}), \qquad z\in\mathbb {C}. $$ dudo que existe una manera primaria para probarlo.

Answer 4

Como alternativa a la solución de @Seiros, aunque mucho menos elegante es usar $$\log\left(1+\frac{1}{4k^2}\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} \frac{1}{4^{n+1} k^{2n+2}}$ $

Entonces $$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty \log\left(1+\frac{1}{4k^2}\right) &=& \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} \frac{\zeta(2n+2)}{4^{n+1}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\pi^{2n}}{2n} \frac{B_{2n}}{(2n)!} \\ &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{\pi^{n}}{n} \frac{B_{n}}{(n)!} + \frac{\pi}{2} \\&=& \frac{\pi}{2} + \int_0^1 \left(\sum_{n=1}^\infty \pi^{n} t^{n-1}\frac{B_{n}}{(n)!}\right) \mathrm{d} t \\ &=& \frac{\pi}{2} + \int_0^1 \left(\frac{\pi}{\mathrm{e}^{\pi t}-1} - \frac{1}{t} \right) \mathrm{d} t \\ &=& \frac{\pi}{2} + \int_0^\pi \left(\frac{1}{\mathrm{e}^{u}-1} - \frac{1}{u} \right) \mathrm{d} u \\ &=& \frac{\pi}{2} + \left. \log\left(\frac{1-\mathrm{e}^{-u}}{u}\right) \right|_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} + \log\left(\frac{1-\exp(-\pi)}{\pi}\right) = \log\left(\frac{2}{\pi} \cdot \sinh\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray} \tag{1} $$

Answer 5

Los estudiantes de la high School secundaria que sé se resolvería como esta.