Encontrar las raíces de un polinomio de grado 3 º

Question

He encontrado esta pregunta a partir de una antigua olimpíadas de matemáticas cuestionario.

Vamos a, B, y C se las raíces de $$x^3-4x-8=0$$ Find the numerical value of the expression $$\frac{A+2}{A-2}+\frac{B+2}{B-2}+\frac{C+2}{C-2}$$

He intentado utilizar Racional Raíces Teorema. Y entonces, me di cuenta de esta ecuación implica números complejos. Afterwhich, he intentado varias manipulaciones. Pero cada vez que me hacen manipular puedo ir a donde empecé a o que me fui demasiado lejos y probablemente hizo algo equivocado en mis cálculos. También he intentado intentado hacer algo como "vamos a u x al cuadrado" y, a continuación, trató de manipulaciones allí. Me hizo encontrar un valor de x que son 0,0,+/-2 raíz cuadrada de 3, y sé que estas están mal, así que me di por vencido.

No sé cómo continuar o qué más probar. Alguien puede ayudar?

Answer 1

$$\begin{align*} \frac{A+2}{A-2}+\frac{B+2}{B-2}+\frac{C+2}{C-2} &= \frac{A-2+4}{A-2}+\frac{B-2+4}{B-2}+\frac{C-2+4}{C-2} \\ &=3 +\frac{4}{A-2}+\frac{4}{B-2}+\frac{4}{C-2} \end{align*}$$ es de la ecuación de raíces (donde $\alpha - 2, \beta -2, \gamma - 2$ son las raíces de la ecuación dada) con $\alpha, \beta, \gamma$ $(y+2)^3 - 4(y+2) - 8 = y^3 + 6y^2 + 8y - 8 = 0$ y queremos que la suma de los recíprocos de las raíces de esta ecuación. Se trata de $\frac{8}{8} = 1$. Así $$\begin{align*} \frac{A+2}{A-2}+\frac{B+2}{B-2}+\frac{C+2}{C-2} &= 3+4 = 7 \end{align*}$$

Answer 2

Que $y=\dfrac{x+2}{x-2}$

Usando Componendo y Dividendo, $\dfrac{y+1}{y-1}=\dfrac x2\iff x=?$

Reemplazar el valor de $x$ en la ecuación dada para formar una ecuación cúbica en $y$

$$(2-1)y^3-(4+3)y^2+\cdots=0$$

Utilizar fórmula de Veita para encontrar la suma requerida $$=\dfrac71