Producto del tensor de fibrados vectoriales

Question

En Hatcher libro sobre el Vector de Paquetes afirma (página 14) que

Es de rutina para verificar que el producto tensor de la operación para que el vector de paquetes a través de una base fija que el espacio es conmutativa, asociativa y tiene un elemento de identidad, el trivial línea de paquete. También es distributiva con respecto a la suma directa.

El encolado de las funciones para el paquete de $E_1 \otimes E_2$ son el producto tensor de los dos matricies $g^1_{\beta \alpha}(x)$ $g^2_{\beta \alpha}(x)$

Así que para el producto tensor para que el vector de paquetes a ser conmutativa, no requerimos que $g^1_{\beta \alpha}(x) \otimes g^2_{\beta \alpha}(x) = g^2_{\beta \alpha}(x) \otimes g^1_{\beta \alpha}(x)$?

Esto ciertamente no es verdad - lo mejor que podemos decir es que son permutación equivalente

(Desde $g_{\beta \alpha}(x):U_\alpha \cap U_\beta \to GL_n(\mathbb{R})$)

Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

El deseado declaración sobre el tensor de productos es que el $E_1 \otimes E_2$ es isomorfo a $E_2 \otimes E_1$, que no es igual a $E_2 \otimes E_1$.

Si $E'$ $E''$ vector de paquetes dada por la transición de las funciones de $g'_{ij}$$g''_{ij}$, entonces van a ser isomorfo iff estos transición de las funciones de determinar el mismo elemento en el (gavilla) cohomology set $H^1(X,\operatorname{GL}_n)$. Esto significa dos cosas: (i) uno se le permite pasar a un refinamiento de la cubierta, y (ii) se refiere a dos conjuntos de la transición de las funciones de la misma, cubriendo como equivalentes si existe $\lambda_i: X \rightarrow \operatorname{GL}_n$ tal que

$g''_{ij} = \lambda_i^{-1} g'_{ij} \lambda_j$:

uno dice que $g'$ $g''$ son cohomologous.

Todo esto es bastante abstracto, pero si se mira hacia atrás en lo que ya has escrito, usted debe encontrar que usted ha explicado exactamente qué funciones se $\lambda_i$ a tomar para mostrar que los dos conjuntos de la transición de las funciones son cohomologous (en este caso no es necesario refinar la cubierta), por lo tanto el vector correspondiente paquetes son isomorfos.

Añadido: yo miraba a Hatcher notas/prerreservar la exención, y no introducir el cohomological perspectiva aquí. Así que, probablemente, hay una mejor forma de ver esto. Cómo acerca de esto: se puede argumentar de Atiyah-estilo (es decir, de su libro sobre la K-teoría) que existe una natural isomorfismo de finito dimensionales espacios vectoriales $V \otimes W \rightarrow W \otimes V$ (solo tienes que cambiar los factores!), así que esta va a extender a un isomorfismo del producto tensor de vector de paquetes. (Esto parece mucho más sencillo, pero el OP enunciado de las cosas en términos de la transición de las funciones, y me gusta esa perspectiva mucho. Se requiere nonabelian gavilla cohomology para realmente ser hecho a la derecha, pero, ¿qué puedo decir? -- en mi línea de trabajo nonabelian cohomology de poleas -- en Grothendieck topologías, no menos-es bastante ubicuo, de todos modos.)