Encontrar el límite de las raíces productos $(\sqrt{2}-\sqrt[3]{2})(\sqrt{2}-\sqrt[4]{2})(\sqrt{2}-\sqrt[5]{2})\cdot \cdot \cdot (\sqrt{2}-\sqrt[n]{2})$

Question

Necesito encontrar:

$$ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{2}-\sqrt[3]{2})(\sqrt{2}-\sqrt[4]{2})(\sqrt{2}-\sqrt[5]{2})\cdot \cdot \cdot (\sqrt{2}-\sqrt[n]{2}) $$

Hasta ahora, creo que el $0<\sqrt{2}-\sqrt[n]{2}<1$, y me parece que el límite aproximará a cero pero no puedo encontrar cómo demostrarlo matemáticamente.

Answer 1

$$(\sqrt{2}-\sqrt[3]{2})(\sqrt{2}-\sqrt[4]{2})(\sqrt{2}-\sqrt[5]{2})\cdot \cdot \cdot (\sqrt{2}-\sqrt[n]{2}) \leq (\sqrt{2}-1)^{n-2} $ $ y claramente $$\lim_{n \to \infty } (\sqrt{2}-1)^{n-2} =0$ $

desde $0<(\sqrt{2}-1)<1$

así que por el test de comparación ganamos.

Answer 2

$(\sqrt{2}-\sqrt[3]{2})(\sqrt{2}-\sqrt[4]{2})(\sqrt{2}-\sqrt[5]{2})\cdot \cdot \cdot (\sqrt{2}-\sqrt[n]{2}) \leq (\sqrt{2}-1)^{n-2}$, hecha.