Solicitud de referencia: categorías enriquecidos $\textbf{FinLat}$

Question

Deje $\textbf{FinLat}$ ser la categoría de finito de celosías con $0$, considerado como una categoría monoidal por el producto tensor de semilattices. Se sabe que el producto tensor de dos finito celosías considerado como $(\vee,0)-$semilattices es de nuevo un número finito de celosía.

Estoy buscando algunas fuentes que hablen de las categorías enriquecida a través de la categoría de $\textbf{FinLat}$. En realidad, más específicamente, en la categoría de la que estoy estudiando es enriquecida a través de la categoría de finito de distribución de redes, pero dudo mucho que se ha hecho mucha investigación en un procedimiento específico.

Yo también estaría encantado con fuentes discutiendo categorías enriquecida a través de la categoría de (conmutativa y/o idempotente) semirings, ya que cada distributiva de la celosía es también un semiring. Sin embargo, realmente no estoy enterado de ninguna caracterización del tensor de productos en la categoría de (conmutativa y/o idempotente) semirings, así que no estoy seguro de que esto puede ser hecho en una categoría monoidal.

EDIT: Óptimamente me gustaría trabajos de investigación que el estudio de estos temas y dar algunos teoremas sobre sus propiedades específicas. Sin embargo, si no ha habido mucha investigación sobre estos temas especializados, te agradezco las respuestas que dan a cualquier interesantes propiedades que pueden ser aplicables en este contexto (por ejemplo, las propiedades de las categorías enriqueció a lo largo de semi-celosías o incluso simplemente categorías enriqueció a lo largo de monoids). Alternativamente, si alguien es consciente de algunas propiedades interesantes, pero no puede encontrar ninguna mención de ellos en cualquiera de los trabajos de investigación, por favor siéntase libre de simplemente publicar una respuesta a discutir esas propiedades sin la vinculación de referencia.

Answer 1

Puede sorprender que la investigación en lo que deseas que se ha realizado! ─en lugar de las variaciones en los objetos de interés.

Un par de chicos cool llamado Freyd y Scedrov escribió un libro llamado "Las categorías, Alegorías" ─amorosamente referido como "los gatos y los caimanes".

En esta segunda parte del texto, que consideran "alegorías": categorías cuya homset es un conocer-semilattice que son dotados con una identidad-en-objetos involutiva functor que satisfacer una ley llamada modal de la regla de que los documentos de la relación de la involución, el orden, y el cumplir con la operación.

Para sus necesidades, usted puede usar los resultados que no dependen de un la involución ─o simplemente llevarlo a ser la identidad, o de complementación si usted decide utilizar complementa celosías─ y de ignorar el los resultados que el uso de los modales de la regla.

Más tarde, se considere la posibilidad de una mayor estructura de orden en el homsets: un entramado, un completo entramado, y otras variaciones que no me recuerde.

Más adelante ─y aferrarse a sus sombreros, ya que esto puede sorprender a usted─, que demostrar que si la alegoría nos interesa satisface algunas otras propiedades (alimentación y tabular, creo), entonces es equivalente a un topos! Esto es emocionante, ya que nos da otra forma de ver los tipos de y la teoría de conjuntos, por ejemplo. Si usted cavar a su alrededor, usted estará mareado a encontrar que si una alegoría tiene otras propiedades en lugar de (unitario y tabular, creo), a continuación, el equivalente a un determinado tipo de categoría monoidal!

Con estos puentes en la mano, usted puede ser capaz de utilizar el know-how de monoidal categorías o la casa de máquinas de topoi para ayudar a usted!

¡A disfrutar!