Cuando yo estaba estudiando el teorema de convergencia dominada, yo estaba contento de venir a través de este problema:
Utilizar el teorema de convergencia dominada (DCT) para mostrar que \lim \int_{0}^{n} \left(1-\frac{x}{n} \right)^{n}x^sdx=\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^sdx where s<-1.
Dejo \displaystyle f_n(x)= \left(1-\frac{x}{n} \right)^{n}, claramente \lim f_n(x)=e^{-x}. Y e^{-x} es integrable.
El libro que yo estoy usando, declaró el teorema de convergencia dominada de la siguiente manera:
Teorema: Vamos a f_n ser una secuencia de funciones medibles tales que f_n \to f en casi todas partes. Si existe una real función con valores de g definir una medida del espacio tales que para cada n, |f_n| \le g en casi todas partes, a continuación, f es integrable y \int f=\lim\int f_n
Ser capaz de utilizar la DCT es necesario encontrar verdaderos valores de la función g que dominan f_n. Que es donde me quedo atascado, puede alguien ayudarme?
EDITAR: El \lim aquí significa el límite cuando n tiende a infinito.
