Cuando yo estaba estudiando el teorema de convergencia dominada, yo estaba contento de venir a través de este problema:
Utilizar el teorema de convergencia dominada (DCT) para mostrar que $$\lim \int_{0}^{n} \left(1-\frac{x}{n} \right)^{n}x^sdx=\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^sdx$$ where $s<-1$.
Dejo $\displaystyle f_n(x)= \left(1-\frac{x}{n} \right)^{n}$, claramente $\lim f_n(x)=e^{-x}$. Y $e^{-x}$ es integrable.
El libro que yo estoy usando, declaró el teorema de convergencia dominada de la siguiente manera:
Teorema: Vamos a $f_n$ ser una secuencia de funciones medibles tales que $f_n \to f$ en casi todas partes. Si existe una real función con valores de $g$ definir una medida del espacio tales que para cada $n$, $|f_n| \le g$ en casi todas partes, a continuación, $f$ es integrable y $$\int f=\lim\int f_n$$
Ser capaz de utilizar la DCT es necesario encontrar verdaderos valores de la función $g$ que dominan $f_n$. Que es donde me quedo atascado, puede alguien ayudarme?
EDITAR: El $\lim$ aquí significa el límite cuando n tiende a infinito.
