El problema: Vamos a $\mu_n$ actuar en $\mathbb{C}[u,v]$ pesos $(1,-1)$. Me gustaría mostrar que los anillos de $\mathbb{C}[u,v]^{\mu_n}$ $\mathbb{C}[x,y,z]/(xy-z^n)$ son isomorfos.
Explicación de la terminología: $\mu_n \subset \mathbb{C}$ es el grupo cíclico de las raíces enésimas de la unidad, con la multiplicación como la acción del grupo. Pick $\epsilon \in \mathbb{C}$ a ser una primitiva n-ésima raíz de la unidad, de manera que $\mu_n = \langle \epsilon \rangle$. Decir que $\mu_n$ actúa en $\mathbb{C}[u,v]$ pesos $(1,-1)$ significa que la acción de $\mu_n$ $\mathbb{C}[u,v]$ se define mediante el establecimiento de $\epsilon \cdot u = \epsilon u$, $\epsilon\cdot v = \epsilon^{-1}v$ y se extiende exponencialmente. Definir $\mathbb{C}[u,v]^{\mu_n}$ a ser el sub-anillo de $\mathbb{C}[u,v]$ consta de polinomios que son invariantes bajo la acción de $\mu_n$$\mathbb{C}[u,v]$.
Quiero mostrar que hay un isomorfismo de anillos: $\mathbb{C}[u,v]^{\mu_n} \cong \mathbb{C}[x,y,z]/(xy-z^n)$.
Mi solución parcial: $\mathbb{C}[u,v]^{\mu_n}$ puede ser identificado como el sub-anillo $\mathbb{C}[u^n,v^n,uv] \subset \mathbb{C}[u,v]$. Así que el problema es demostrar que el $\mathbb{C}[u^n,v^n,uv] \cong \mathbb{C}[x,y,z]/(xy-z^n)$. Hay un surjective anillo homomoprhism $\varphi: \mathbb{C}[x,y,z] \to \mathbb{C}[u^n,v^n,uv]$ definido por $x \mapsto u^n, y\mapsto v^n, z \mapsto uv$. Un directo de verificación muestra que $(xy-z^n) \subset \ker{\varphi}$.
La dificultad: soy incapaz de mostrar el reverso de la inclusión, $\ker{\varphi} \subset (xy-z^n)$. Cualquier ayuda será apreciada. Hay otra manera de ver que $\ker{\varphi} = (xy-z^n)$, sin perseguir inclusiones?
Gracias de antemano.
EDIT:se Basa en la Alistair respuesta de abajo, así es como yo entiendo que uno debe proceder: supongamos $\alpha$ (como se define a continuación) se encuentra en $\ker{\varphi}$, por lo que el $\sum{a_{i,j,k}u^{ni+k}v^{nj+k}} = 0$ --- (1).
Quiero mostrar que la $b_{i,j,k} \in \mathbb{C}$ s elegida.t. $(\sum{b_{i,j,k}x^iy^jz^k})(xy-z^n) = \alpha$ es decir $\sum(b_{i-1,j-1,k} - b_{i,j,k-n})x^iy^jz^k = \alpha$. Se aplican $\varphi$ a esta última ecuación y el uso de independencia lineal de $u^av^b$ $\mathbb{C}[u,v]$ y de la ecuación (1) para obtener las ecuaciones lineales de la forma:
(expresión en $b$s) = (expresión en $a$s).
El uso de estos me puede hacer una selección de $b$s, por lo que la ecuación de $(\sum{b_{i,j,k}x^iy^jz^k})(xy-z^n) = \alpha$ está satisfecho, lo que demuestra el reverso de la inclusión.
