¿Por qué la derivada del área de un círculo es su perímetro (y similarmente para las esferas)?

Question

Cuando se diferencia con respecto a $r$, la derivada de $\pi r^2$ es $2 \pi r$, que es la circunferencia de un círculo.

De manera similar, al diferenciar la fórmula del volumen de una esfera $\frac{4}{3} \pi r^3$ con respecto a $r$, obtenemos $4 \pi r^2$.

¿Es esto solo una coincidencia, o hay alguna explicación profunda de por qué deberíamos esperar esto?

Answer 1

Considera aumentar el radio de un círculo en una cantidad infinitesimal, $dr$. Esto aumenta el área por un anillo (o anillo) con radio interior $2 \pi r$ y radio exterior $2\pi(r+dr)$. Como este anillo es extremadamente delgado, podemos imaginar cortarlo y luego aplanarlo para formar un rectángulo con ancho $2\pi r$ y altura $dr$ (el lado de longitud $2\pi(r+dr)$ es lo suficientemente cercano a $2\pi r$ como para ignorarlo). Por lo tanto, la ganancia de área es $2\pi r\cdot dr$ y para determinar la tasa de cambio con respecto a $r$, dividimos por $dr$ y obtenemos $2\pi r$. Por favor, ten en cuenta que esta es solo una explicación informativa e intuitiva en lugar de una prueba formal. El mismo razonamiento funciona con una esfera, simplemente la aplanamos en un prisma rectangular en su lugar.

Answer 2

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Bd}{\partial}\DeclareMathOperator{\vol}{vol}$Las fórmulas no son un accidente, pero tampoco especialmente profundas. La explicación se reduce a un par de observaciones geométricas.

1. Si $X$ es el cierre de un conjunto abierto acotado en el espacio euclidiano $\Reals^{n}$ (como una bola sólida, o un politopo acotado, o una elipsoide) y si $a > 0$ es real, entonces la imagen $aX$ de $X$ bajo la aplicación $x \mapsto ax$ (escalamiento uniforme por un factor de $a$ alrededor del origen) satisface $$ \vol_{n}(aX) = a^{n} \vol_{n}(X). $$ Más generalmente, si $X$ es una variedad cerrada, acotada y lisa por partes de $k$ dimensiones en el espacio euclidiano $\Reals^{n}$, entonces escalar $X$ por un factor de $a$ multiplica el volumen por $a^{k}$.

2. Si $X \subset \Reals^{n}$ es una intersección acotada de $n$ dimensiones de semiespacios cerrados cuyas fronteras están a una distancia unitaria del origen, entonces escalar $X$ por $a = (1 + h)$ "agrega una capa de grosor uniforme $h$ a $X$ (modulada según su comportamiento en las intersecciones de hiperplanos)". El volumen de esta capa es igual a $h$ veces la medida de $n - 1$ dimensiones de la frontera de $X$, hasta términos añadidos de orden superior en $h$ (es decir, términos cuya contribución total al volumen de $n$ dimensiones de la capa es despreciable conforme $h \to 0$).

Si $X$ satisface la Propiedad 2. (por ejemplo, $X$ es una bola o cubo o símplex de "radio unitario" centrado en el origen), entonces $$ h \vol_{n-1}(\Bd X) \approx \vol_{n}\bigl[(1 + h)X \setminus X\bigr], $$ o $$ \vol_{n-1}(\Bd X) \approx \frac{(1 + h)^{n} - 1}{h}\, \vol_{n}(X). \tag{1} $$ La aproximación se vuelve exacta en el límite cuando $h \to 0$: $$ \vol_{n-1}(\Bd X) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^{n} - 1}{h}\, \vol_{n}(X) = \frac{d}{dt}\bigg|_{t = 1} \vol_{n}(tX). \tag{2} $$ Por la Propiedad 1., si $r > 0$, entonces $$ \vol_{n-1}\bigl(\Bd (rX)\bigr) = r^{n-1}\vol_{n-1}(\Bd X) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^{n}r^{n} - r^{n}}{rh}\, \vol_{n}(X) = \frac{d}{dt}\bigg|_{t = r} \vol_{n}(tX). \tag{3} $$ En palabras, el volumen de $n - 1$ dimensiones de $\Bd(rX)$ es la derivada con respecto a $r$ del volumen de $n$ dimensiones de $rX$.

Este argumento falla para cajas no cúbicas y elipsoides (por nombrar dos), porque para estos objetos, el escalado uniforme alrededor de un punto arbitrario no agrega una capa de grosor uniforme (es decir, la Propiedad 2. falla). De forma equivalente, agregar una capa de grosor uniforme no produce una región nueva similar (es decir, obtenida por escalamiento uniforme) a la original.

(El argumento también falla para cubos (etc.) no centrados en el origen, nuevamente porque el escalamiento "fuera del centro" no agrega una capa de grosor uniforme.)

En más detalle:

• Escalar un rectángulo no cuadrado agrega "área más gruesa" a los lados cortos que al par de lados largos. De forma equivalente, agregar una capa de grosor uniforme alrededor de un rectángulo no cuadrado produce un rectángulo con proporciones diferentes al rectángulo original.

• Escalar una elipse no circular agrega un área más gruesa cerca de los extremos del eje mayor. De forma equivalente, agregar una capa uniforme alrededor de una elipse no circular produce una región no elíptica. (El principio de que "la derivada del área es la longitud" falla drásticamente para las elipses: El área de una elipse es proporcional al producto de los ejes, mientras que la longitud del arco es una función no elemental de los ejes.)

Answer 3

La explicación es muy simple. Toma una esfera de radio $r$, volumen $V$, y área superficial $A$. Ahora píntala, con una capa de espesor $\delta r$. El volumen de pintura requerido es (para el primer orden en $\delta r$) $A\delta r$, lo que te da directamente: $$\delta V = A \delta r$$ Por lo tanto, en el límite:

$$\frac{dV}{dr} = A$$

Answer 4

Porque se utiliza la integral (léase: antiderivada) para encontrar el área bajo la curva, incluso una curva en coordenadas polares.

Answer 5

Hay un artículo en la web que trata, en profundidad, esta pregunta. Aquí hay una cita:

“Nos quedamos intrigados por el trabajo de los estudiantes, y este documento es el resultado de nuestro intento de responder a la pregunta, "¿Cuándo es el área superficial igual a la derivada del volumen?"”

Aquí está el enlace:

https://web.archive.org/web/20221028195509/www.math.byu.edu/~mdorff/docs/DorffPaper07.pdf