¿Por qué la derivada del área de un círculo es su perímetro (y de manera similar para las esferas)?

Question

Cuando se diferencia con respecto a $r$, la derivada de $\pi r^2$ es $2 \pi r$, que es la circunferencia de un círculo.

De manera similar, cuando la fórmula para el volumen de una esfera $\frac{4}{3} \pi r^3$ se diferencia con respecto a $r$, obtenemos $4 \pi r^2$.

¿Es esto solo una coincidencia, o hay alguna explicación profunda de por qué deberíamos esperar esto?

Answer 1

Considera aumentar el radio de un círculo en una cantidad infinitesimalmente pequeña, $dr$. Esto aumenta el área por un anillo (o anillo) con radio interior $2 \pi r$ y radio exterior $2\pi(r+dr)$. Dado que este anillo es extremadamente delgado, podemos imaginar cortar el anillo y luego aplanarlo para formar un rectángulo con ancho $2\pi r$ y altura $dr$ (el lado de longitud $2\pi(r+dr)$ es lo suficientemente cercano a $2\pi r$ que podemos ignorarlo). Por lo tanto, la ganancia de área es $2\pi r\cdot dr$ y para determinar la tasa de cambio con respecto a $r$, dividimos por $dr$ y obtenemos $2\pi r$. Ten en cuenta que esto es solo una explicación informativa e intuitiva en lugar de una prueba formal. El mismo razonamiento funciona con una esfera, solo la aplanamos para formar un prisma rectangular en su lugar.

Answer 2

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Bd}{\partial}\DeclareMathOperator{\vol}{vol}$Las fórmulas no son un accidente, pero tampoco especialmente profundas. La explicación se reduce a un par de observaciones geométricas.

1. Si $X$ es la clausura de un conjunto abierto acotado en el espacio Euclidiano $\Reals^{n}$ (como una bola sólida, o un politopo acotado, o una elipsoide) y si $a > 0$ es real, entonces la imagen $aX$ de $X$ bajo la transformación $x \mapsto ax$ (escalamiento uniforme por un factor de $a$ alrededor del origen) satisface $$ \vol_{n}(aX) = a^{n} \vol_{n}(X). $$ Más generalmente, si $X$ es una variedad $k$-dimensional cerrada, acotada y de piezas suaves en $\Reals^{n}$, entonces escalar $X$ por un factor de $a$ multiplica el volumen por $a^{k}$.

2. Si $X \subset \Reals^{n}$ es una intersección acotada de dimensión $n$ de semiplanos cerrados cuyos límites están a distancia unitaria del origen, entonces escalar $X$ por $a = (1 + h)$ "añade una capa de espesor uniforme $h$ a $X$ (modulo comportamiento en las intersecciones de hiperplanos)". El volumen de esta capa es igual a $h$ veces la medida $(n - 1)$-dimensional del borde de $X$, hasta términos añadidos de orden superior en $h$ (es decir, términos cuya contribución total al volumen $n$-dimensional de la capa es despreciable a medida que $h \to 0$).

Si $X$ satisface la Propiedad 2. (por ejemplo, $X$ es una bola o cubo o simplejo de "radio unitario" centrado en el origen), entonces $$ h \vol_{n-1}(\Bd X) \approx \vol_{n}\bigl[(1 + h)X \setminus X\bigr], $$ o $$ \vol_{n-1}(\Bd X) \approx \frac{(1 + h)^{n} - 1}{h}\, \vol_{n}(X). \tag{1} $$ La aproximación se vuelve exacta en el límite cuando $h \to 0: $$ \vol_{n-1}(\Bd X) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^{n} - 1}{h}\, \vol_{n}(X) = \frac{d}{dt}\bigg|_{t = 1} \vol_{n}(tX). \tag{2} $$ Por la Propiedad 1., si $r > 0$, entonces $$ \vol_{n-1}\bigl(\Bd (rX)\bigr) = r^{n-1}\vol_{n-1}(\Bd X) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^{n}r^{n} - r^{n}}{rh}\, \vol_{n}(X) = \frac{d}{dt}\bigg|_{t = r} \vol_{n}(tX). \tag{3} $$ En palabras, el volumen $(n - 1)$-dimensional de $\Bd(rX)$ es la derivada con respecto a $r$ del volumen $n$-dimensional de $rX$.

Este argumento falla para cajas no cúbicas y elipsoides (por nombrar dos) porque para estos objetos, el escalamiento uniforme alrededor de un punto arbitrario no añade una capa de espesor uniforme (es decir, falla la Propiedad 2). De manera equivalente, añadir una capa de espesor uniforme no produce una región nueva similiar a (es decir, obtenida por escalamiento uniforme desde) la original.

(El argumento también falla para cubos (etc.) no centrados en el origen, nuevamente porque el escalamiento "descentrado" no añade una capa de espesor uniforme.)

En más detalle:

• Escalando un rectángulo no cuadrado añade "área más espesa" a los lados cortos que al par largo. De manera equivalente, añadir una capa de espesor uniforme alrededor de un rectángulo no cuadrado produce un rectángulo con proporciones diferentes que el rectángulo original.

• Escalando una elipse no circular añade área más espesa cerca de los extremos del eje mayor. De manera equivalente, añadir una capa uniforme alrededor de una elipse no circular produce una región no elíptica. (El principio de que "la derivada del área es la longitud" falla drásticamente para elipses: El área de una elipse es proporcional al producto de los ejes, mientras que la longitud del arco es una función no elemental de los ejes.)

Answer 3

La explicación es muy simple. Toma una esfera de radio $r$, volumen $V$ y área superficial $A$. Ahora píntala, con una capa de espesor $\delta r$. El volumen de pintura requerido es (en primer orden en $\delta r$) $A\delta r$, lo que te da directamente: $$\delta V = A \delta r$$ Por lo tanto, en el límite:

$$\frac{dV}{dr} = A$$

Answer 4

Porque utilizas la integral (léase: antiderivada) para encontrar el área bajo la curva, incluso una curva en coordenadas polares.

Answer 5

Hay un artículo en la web que aborda, en profundidad, esta pregunta. Aquí hay una cita de él:

“Estábamos intrigados por el trabajo de los estudiantes, y este documento es el resultado de nuestro intento de responder a la pregunta, “¿Cuándo es el área superficial igual a la derivada del volumen?"”

Aquí está el enlace:

www.math.byu.edu/~mdorff/docs/DorffPaper07.pdf