Una solución alternativa a una ecuación diferencial

Question

La cuestión principal que se plantea es si es posible una $f(x)$ que satisface la siguiente ecuación donde $u=u(x)$ Si es así, ¿cómo?

$$\boxed{ \frac{df(u^2)}{d(u^2)} = \left(\frac{du}{dx}\right)^2 + \frac{u^2}{\left(\frac{du}{dx}\right)^2} \quad ,u = u(x)\qquad(*)}$$ o, de forma similar, después de utilizar la transformación en el Observaciones sección: $$\boxed{\frac{df(u^2)}{du} = 2u\left[\left(\frac{du}{dx}\right)^2 + \frac{u^2}{\left(\frac{du}{dx}\right)^2}\right] \quad ,u = u(x) \qquad (**)}$$

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Parte 1 :

Esto se deriva de la pregunta inicial que se me asignó, que era:

Encuentre un $f(x)$ que satisface: $$ f'(\sin^2x) = \cos^2x + \tan^2x, \quad 0<x<1$$

( He dejado esta parte en notación "prima" porque así es como se presentó la pregunta original. )

La solución adecuada pasa por el siguiente método:

$$ f'(\sin^2x) = (1-\sin^2x) + \frac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}$$

Dejemos que $u = \sin^2x$ entonces:

$$ f'(u) = (1 - u) + \frac{u}{1-u}$$

$$ f(u) = \int\,\left[(1 - u) + \frac{u}{1-u} \right] du$$

$$ f(u) = \int\,\left[(1 - u) + \frac{u-1+1}{1-u} \right] du$$

$$ = \int\,\left[-u + \frac{1}{1-u} \right] du$$

$$ \therefore f(x) = -\frac{1}{2}u^2-\ln|1-u|=-\frac{1}{2}x^2-\ln|1-x|$$

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Segunda parte:

Mi pregunta es si esto se puede resolver con el siguiente método alternativo:

$$ \frac{d(f(\sin^2x))}{d(\sin^2x)} = \cos^2x + \tan^2x, \quad 0<x<1$$

entonces,

$$\frac{d(f(\sin^2x))}{d(\sin^2x)} = \cos^2x + \frac{\sin^2x}{\cos^2x}$$

Dejemos que $u = \sin x$ , $du = \cos x\,dx$ entonces:

$$ \frac{d(f(u^2))}{d(u^2)} = \left(\frac{du}{dx}\right)^2 + \frac{u^2}{\left(\frac{du}{dx}\right)^2} \qquad$$

¿Se puede resolver esta ecuación para encontrar un $f(x)$ que satisface esta relación independientemente de lo que $u(x)$ ¿realmente lo es?

Véase la edición principal 1&2 para aclarar por qué está en esta forma

Los siguientes pasos son INCORRECTOS, ya que no es así como funciona la regla de la cadena. Pero hay algo en mi cabeza moliendo de tal manera que siento que se puede resolver de una manera invocando la regla de la cadena, pero no puedo conseguir mis pensamientos envueltos alrededor de ella correctamente.

( He dejado esta parte en notación "prima" porque esto muestra mi proceso de pensamiento erróneo de malentender los diferenciales que probablemente me llevó a la respuesta equivocada. )

$$ 2u\, f'(u) = \left(u'\right)^2 +\frac{u^2}{\left(u'\right)^2}$$

Claramente $ f'(u^2) \ne 2u\, f'(u)$ Sin embargo, continuando con este pensamiento incorrecto ..

$$ f'(u) = \frac{1}{2} \left[\frac{\left(u'\right)^2}{u}+\frac{u}{u'}\right]$$

$$ f(u) = \int\frac{1}{2} \left[\frac{\left(u'\right)^2}{u}+\frac{u}{u'}\right] $$

¿Hay alguna forma de utilizar correctamente la regla de la cadena a partir de $(*)$ para llegar a este punto y luego integrar, o resolverlo mediante algún método de ecuaciones diferenciales? Nunca he experimentado una pregunta con el cuadrado de una derivada, así que me preguntaba si alguien podría darme una idea sobre esto.

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Edición principal 1: Como @JJacquelin Se ha observado que la notación con "primo" causa bastante problema con lo que es la pregunta que se hace:

Utilizando el hecho de que $u = \sin x\,\, \text{is a function of}\, x$

La línea:

$$ f'(u^2) = \left(\frac{du}{dx}\right)^2 + \frac{u^2}{\left(\frac{du}{dx}\right)^2} \qquad$$

puede escribirse así:

$$ \frac{df(u^2)}{d(u^2)} = \left(\frac{du}{dx}\right)^2 + \frac{u^2}{\left(\frac{du}{dx}\right)^2} \quad ,u = u(x) \qquad(*)$$

Y como es así, he sustituido todas las partes apropiadas de este post por la notación de Leibniz para sugerir claridad.

Ahora puedo encontrar un $f(x)$ que satisface esta ecuación?

He dejado mi trabajo anterior tal y como está, para poder referenciarlo algún día en caso de que me encuentre con un problema de precisión de lo que significa mi notación prima.

Por favor, hágame saber si hay alguna otra aclaración que deba hacerse para que esto pueda ser resuelto adecuadamente.

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Edición 2: Prueba de por qué [ incorrectamente ] cree que es $\frac{d}{dx}$ :

Gracias a @JJacquelin una vez más por ayudarme a aclarar los diferenciales en la pregunta. He editado la pregunta general con la reflexión a su análisis, y espero recibir la respuesta que buscaba ahora que la noción de diferenciales está aclarada. Antes me equivoqué en mi razonamiento y en realidad es $\frac{df(X)}{dX}$ para cualquier variable ficticia $X$ , al contrario de lo que había pensado como se puede ver a continuación.:

Si partimos de la solución de la primera parte:

$$f(x) = -\frac{1}{2}x^2-\ln|1-x|$$

$$\frac{df(x)}{dx} = -x+\frac{1}{1-x}$$ $$\frac{df(x)}{dx} = -x+\frac{1-x+x}{1-x}$$ $$\frac{df(x)}{dx} = -x+\frac{1-x}{1-x}+\frac{x}{1-x}$$ $$\frac{df(x)}{dx} = -x + 1 + \frac{x}{1-x}$$ $$\frac{df(x)}{dx} = 1 - x +\frac{x}{1-x}$$

Ahora $x \mapsto \sin^2x$ :

$$\frac{df(\sin^2x)}{dx} = 1 -\sin^2x+\frac{\sin^2x}{1-\sin^2x}$$ $$\frac{df(\sin^2x)}{dx} = \cos^2x + \tan^2x$$ Pero esto resulta ser un error, cuando $x\mapsto \sin^2 x$ se convierte en : $$\frac{df(\sin^2x)}{d(\sin^2x)} = \cos^2x + \tan^2x$$ $$f'(\sin^2x)=\cos^2x + \tan^2x$$ Que es con lo que empezamos. Ahora estoy empezando a dudar de mí mismo, porque no estoy seguro de que el $dx$ cambios en $d(\sin^2x)$ cuando $x\mapsto\sin^2x$ . Agradecería que alguien me ayudara a darme cuenta de cuál es, porque entonces no puedo ni siquiera empezar a entender la pregunta principal sin formular el enunciado correcto.

Gracias por @JJacquelin aclarando esto .

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Observaciones : En otro orden de cosas, he revisado algunos de mis trabajos de diferencial de la universidad y me he encontrado con un problema de deberes que demostramos que:

$$\frac{d^2x}{dy^2}= -\frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^3}$$

Lo que me lleva a preguntarme si los términos $\left(\frac{du}{dx}\right)^2$ transformarse en algún $n$ -¿derivada? De forma más general, ¿existen posibles transformaciones para convertir potencias de derivadas en $n$ -a fin de simplificar este problema en una ecuación diferencial que pueda resolverse con los métodos habituales?

También algo @JJacquelin me ayudó a darme cuenta del uso de la regla de la cadena, que puede ser de alguna ayuda para progresar:

$$\frac{df(u^2)}{d(u^2)}= \frac{df(u^2)}{2udu}$$

lo que puede simplificar la pregunta original a:

$$\frac{df(u^2)}{du} = 2u\left[\left(\frac{du}{dx}\right)^2 + \frac{u^2}{\left(\frac{du}{dx}\right)^2}\right] \quad ,u = u(x) \qquad (**)$$

Estas dos identidades podrían ser de alguna ayuda... posiblemente.

Answer 1

El problema viene de la ambigüedad del símbolo primo, que no especifica con respecto a qué variable se hace la diferenciación.

En $\quad f'(u)= \begin{cases} \frac{d}{du} f(u)\qquad(1)\\ \text{or} \\ \frac{d}{dx}f(u) \qquad(2) \end{cases}\quad $ ?

En $\quad f'(\sin^2(x))= \begin{cases} \frac{d}{d(\sin^2(x))} f(\sin^2(x))\qquad(1)\\ \text{or} \\ \frac{d}{dx}f(\sin^2(x)) \qquad(2) \end{cases}\quad $ ?

Parece que, al escribir $\quad f'(\sin^2x) = (1-\sin^2x) + \frac{\sin^2 x}{1-\sin^2 x}\quad$ entiendes "primo" en sentido de definición $(2)$ ,

mientras que por escrito $\quad f'(u) = (1 - u) + \frac{u}{1-u}\quad$ entiendes "primo" en sentido de definición $(1)$ .

Ambas cosas son diferentes y conducen a un cálculo posterior diferente. Por lo tanto, es difícil dar una respuesta definitiva a su pregunta.

Cuando dos variables diferentes, a veces $u$ a veces $x$ son implicados en las diferenciaciones, debería ser mejor evitar el símbolo primo. Sugiero que edites tu pregunta sin el símbolo primo pero con los símbolos $d$ para que no sea ambiguo.

Answer 2

Como la pregunta original se presentó en el formulario : $$f'\left(\sin^2(x)\right)=\cos^2(x)+\tan^2(x)$$ probablemente el símbolo prime significa $$f'(X)=\frac{df(X)}{dX}\text{ , for any dummy variable }X.$$ Así, con $X=\sin^2(x)\quad\to\quad f'\left(\sin^2(x)\right)=\frac{df\left(\sin^2(x)\right)}{d\left(\sin^2(x)\right)}=\cos^2(x)+\tan^2(x)$

Con esta interpretación, su primera parte es correcta porque, con el símbolo $X=u=\sin^2(x)$ la ecuación a resolver es $$f'(u)=\frac{df(u)}{du}=(1-u)+\frac{u}{1-u}$$ $$f(u)=\int \left((1-u)+\frac{u}{1-u}\right)du$$ lo que lleva a $$f(u)=-\frac{1}{2}u^2-\ln|1-u|+C \quad\to\quad f(x)=-\frac{1}{2}x^2-\ln|1-x|+C$$

SEGUNDA PARTE, con cambio de variable $v=\sin(x)$

No uso el mismo símbolo $u$ para evitar confusiones.

La ecuación a resolver es $$f'(v^2)=\frac{df(v^2)}{d(v^2)}=(1-v^2)+\frac{v^2}{1-v^2}$$ $\frac{df(v^2)}{d(v^2)}=\frac{df(v^2)}{2vdv}=(1-v^2)+\frac{v^2}{1-v^2}$

$\frac{df(v^2)}{dv}=2v\left((1-v^2)+\frac{v^2}{1-v^2}\right)$ $$df(v^2)=\left((2v-2v^3)+\frac{2v^3}{1-v^2}\right)dv$$ $$f(v^2)=\int\left(2v-2v^3+\frac{2v^3}{1-v^2}\right)dv$$ $$f(v^2)=-\frac{1}{2}v^4-\ln|1-v^2|+c$$ Como era de esperar, el resultado es el mismo que el anterior: $\quad f(x)=-\frac{1}{2}x^2-\ln|1-x|+c$

NOTA :

Es posible resolver la ecuación original sin ningún cambio de variable : $$f'\left(\sin^2(x)\right)=\frac{df\left(\sin^2(x)\right)}{d\left(\sin^2(x)\right)}=\cos^2(x)+\tan^2(x)$$

$$f'\left(\sin^2(x)\right)=\frac{df\left(\sin^2(x)\right)}{2\sin(x)\cos(x)dx}=\cos^2(x)+\tan^2(x)$$

$$df=2\sin(x)\cos(x)\left(\cos^2(x)+\tan^2(x)\right)dx$$

$$f=\int df=\int 2\sin(x)\cos(x)\left(\cos^2(x)+\tan^2(x) \right)dx$$ $\int 2\sin(x)\cos(x)\left(\cos^2(x)+\tan^2(x) \right)dx=-\frac{1}{2}\sin^4(x)-\ln(\cos^2(x))+c$ $$f\left(\sin^2(x)\right)=-\frac{1}{2}\sin^4(x)-\ln|\cos^2(x)|+c$$

$$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}x^2-\ln|1-x^2|+c$$

Como era de esperar, este es el mismo resultado que el anterior.

Answer 3

De hecho, los posts anteriores son más comentarios que respuestas. El objetivo era aclarar el problema. Después de la discusión, esto se hizo. Por lo tanto, estos posts preliminares podrían ser eliminados.

De hecho, la pregunta es :

¿Es posible un $f$ que satisface la siguiente ecuación donde $u=u(x)$ Si es así, ¿cómo? $$\boxed{ \frac{df(u^2)}{d(u^2)} = \left(\frac{du}{dx}\right)^2 + \frac{u^2}{\left(\frac{du}{dx}\right)^2} \quad ,u = u(x)}$$ De lo que se habló antes : $$f(u^2)=\int \left( \left(\frac{du}{dx}\right)^2 + \frac{u^2}{\left(\frac{du}{dx}\right)^2} \right)2udu$$ Se puede tomar cualquier función diferenciable $u(x)$ y ponerlo en la integral anterior. No importa si hay, o no, una forma cerrada para la integral. Esto demuestra que la función $f$ existe (función definida por una integral).

Dejemos que $F(x)$ una función determinada. Con $u(x)=F(x)$ la derivada $\frac{du}{dx}=F'(x)$ es conocido.

En la siguiente expresión $$\left( \left(\frac{du}{dx}\right)^2 + \frac{u^2}{\left(\frac{du}{dx}\right)^2} \right)2udu=\left( \left(F'(x)\right))^2 + \frac{ \left(F(x)\right)^2}{ \left(F'(x)\right)^2 } \right)2F(x)F'(x)dx$$ todas las funciones son conocidas.

Así, la función $I(x)$ definida por la siguiente integral es conocida (aunque no se pueda expresar una forma cerrada) :

$$I(x)=\int \left( \left(F'(x)\right))^2 + \frac{ \left(F(x)\right)^2}{ \left(F'(x)\right)^2 } \right)2F(x)F'(x)dx$$ $$f(u^2)=I(x)$$ La función inversa de $u=F(x)$ es $x=F^{-1}(u)$ $$f(u^2)=I\left(F^{-1}(u)\right)$$ Con $X=u^2$ $$\boxed{ f(X)=I\left(F^{-1}(X^{1/2})\right)}$$ Esto muestra cómo la función $f(X)$ se puede obtener.

EJEMPLOS :

Esto ya se hizo en el caso de $F(x)=\sin(x) \quad\to\quad f(X)=-\frac{1}{2}X^2-\ln|1-X|$ .

Lo haremos con otra función, por ejemplo la muy sencilla $F(x)=x$

$F'(x)=1 \quad\to\quad I(x)=\int \left( 1 + x^2 \right)2xdx = x^2+\frac{2}{3}x^3$

$x=F^{-1}{u}=u=X^{1/2} \quad\to\quad F(X)=I\left(F^{-1}(X^{1/2})\right)=(X^{1/2})^2+\frac{2}{3}(X^{1/2})^3$

$F(X)=X+\frac{2}{3}X^{3/2}$

OTRO EJEMPLO :

Más complicado, con $F(x)=\ln(x)$

$F'(x)=\frac{1}{x}$

$I(x)=\int \left( \frac{1}{x^2} + \frac{ \left(\ln(x)\right)^2}{ \frac{1}{x^2} } \right)2\ln(x)\frac{1}{x}dx $

$I(x)= x^2\ln^3(x)-\frac{3}{2}x^2\ln^2(x)+\frac{3}{2}x^2\ln(x)-\frac{\ln(x)}{x^2}-\frac{3}{4}x^2-\frac{1}{x^2}$

$x=F^{-1}\left(u\right)=e^u=e^{X^{1/2}}$ $$f(X)=e^X X^{3/2}-\frac{3}{2}e^X X+\frac{3}{2}e^X X^{1/2}-\frac{X^{1/2}}{e^X}-\frac{3}{4}e^X-\frac{1}{e^X}$$

Como ya se ha señalado, una forma cerrada para $f(X)$ no puede derivarse en todos los casos. Esto requiere que se conozcan formas cerradas para la integral y para la función inversa.