Encontrar el resto cuando un gran número se divide por 35.

Question

No sé por qué estoy mal con este problema. Esto es lo que hice: los dos últimos dígitos de $6^{2006}$ es 36. Así que la respuesta debe ser 1.

Encontrará el resto al $6^{2006}$ se divide por 35.

Answer 1

No estoy seguro cómo usted ha calculado "son el las dos últimas cifras de $6^{2006}$ $36$", pero aquí está mi planteamiento:

$$6^2\equiv36\equiv1\pmod{35}\implies6^{2006}\equiv(6^2)^{1003}\equiv1^{1003}\equiv1\pmod{35}$$

Answer 2

SUGERENCIA:

$6^{2006}=36^{1003} \equiv 1^{1003} $ (mod 35)

Answer 3

Aquí es otro enfoque. Para la solución de problemas$\pmod{N}$, podemos tratar de encontrar los factores primos de a $N$, luego de resolver el problema del modulo de cada uno de esos factores. A veces esto es más fácil que directamente la solución de $\pmod{N}$.

Entonces algo que se llama el Teorema del Resto Chino nos permite combinar los resultados de cada factor para producir el resultado para $N$.

En este caso, los factores primos de a$35$$5$$7$. Desde $6 \equiv 1 \pmod{5}$$6 \equiv -1 \pmod{7}$, vemos en seguida que:

• $6^{2006} \equiv 1\pmod 5$

• $6^{2006} \equiv 1 \pmod 7$ , ya que el $2006$ es incluso

El Teorema del Resto Chino nos dice que, dado congruencias $N \equiv a \pmod{p}$$N \equiv b \pmod {q}$ , entonces no hay una única $x$ tal que $N \equiv x \pmod{pq}$, y es el mismo $x$ todos los $N$ (y esto se generaliza a múltiples factores).

En el caso general, puede que tenga que seguir un algoritmo o uso de la fuerza bruta para encontrar $x$. En este caso es justo en frente de nosotros: dejar a $N = 1$ satisface nuestras dos congruencias. Por lo $1 \pmod{35}$ es la respuesta que estamos buscando.