puede alguien dar una prueba por definición: $11$ es primer en $ \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] $

Question

lo que hice es: asumir $\alpha \notin (11),\beta\notin (11), \alpha\beta \in (11)\Rightarrow\exists \gamma, s.t.$ $ \alpha\beta = 11 \gamma$, $\Rightarrow N(\alpha)N(\beta) = 11^2N(\gamma) $

entonces hay 2 casos
un caso es $11|N(\alpha)$ y $11|N(\beta)$
el otro es $11^2|N(\alpha)$ o $11^2|N(\beta)$

mi profesor dijo que ambos casos conducirá a una contradicción, pero no puedo averiguar.

Answer 1

Vamos a mostrar que el si $11$ divide $\alpha\beta$ $11$ divide $\alpha$ o $11$ divide $\beta$. Desde $11$ no es, obviamente, una unidad de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, por la definición de la primera se desprende que $11$ es el primer en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$.

Desde el post, está claro que usted sabe que si $11$ divide $\alpha\beta$, $11$ divide $N(\alpha)N(\beta)$ y, por tanto, $11$ divide $N(\alpha)$ o $11$ divide $N(\beta)$.

Deje $\alpha=s+t\sqrt{-5}$. A continuación,$N(\alpha)=s^2+5t^2$. Supongamos que $11$ divide $s^2+5t^2$. Vamos a mostrar que el $11$ divide $t$ (y, por tanto, $11$ divide $s$).

Supongamos que $s^2+5t^2=11k$, e $11$ no divide $t$. Deje $wt\equiv 1\pmod{11}$ (hay un $w$ desde $t$ tiene una inversa modulo $11$).

Llegamos $(ws)^2\equiv -5\equiv 6\pmod{11}$. Esto es imposible, ya $6$ no es un residuo cuadrático de $11$ (sólo tratar todas las plazas hasta el $5^2$).

Desde $11$ divide $t$$s$, se deduce que el $11$ divide $\alpha$.

Si $11$ no divide $N(\alpha)$, se debe dividir $N(\beta)$, y, a continuación, llegamos a la conclusión de la misma manera que $11$ divide $\beta$.