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Comportamiento de la función con variables muy grandes

Cada vez que pienso en cómo se comporta una función, siempre trato de identificar un patrón general de comportamiento con algunos números comunes (en algún lugar entre 5 y 100 tal vez) y luego trato de ver si algo interesante sucede alrededor del 1, 0 y en números negativos si corresponde.

Si todo esto funciona, asumo esencialmente que sé que la función se va a comportar de manera similar para números muy grandes como lo hace para esos números relativamente pequeños.

¿Existen funciones notables (famosas, inteligentes o comunes) en las que un número muy elevado de personas haría que se comportaran de manera muy diferente a lo que se pensaría inicialmente si siguiera mi patrón experimental habitual? Si es así, ¿hay alguna señal de advertencia de la que deba ser consciente?

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dagorym Puntos 2025

El La función Griewank ,

f(x)=14000ni=1x2ini=1cos(xii)+1

que es una de las funciones objetivas utilizadas en las pruebas de los algoritmos de optimización, se ve completamente diferente a gran escala (dominada por x 2 ) y a pequeña escala (dominada por el cos x ).

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pix0r Puntos 17854

Muchas funciones racionales f(x)=n(x)d(x)=q(x)+r(x)d(x) (donde deg(r) < deg(d)) se comportan de manera muy diferente en la vecindad general de los ceros de d(x) que para los grandes valores (positivos o negativos) x. Cerca de los ceros de d(x), los valores de r(x)d(x) dominan los valores de q(x) (es decir, f(x) se comporta como r(x)d(x) ), mientras que para los grandes valores (positivos o negativos) de x, los valores de q(x) dominan los valores de r(x)d(x) (es decir, f(x) se comporta como q(x)).

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Michael Wiles Puntos 158

Los valores de una función f(x) por los valores relativamente pequeños de su argumento x es típicamente un muy mal predictor del comportamiento asintótico de f(x) para los grandes x . Esto es cierto incluso cuando f(x) es un función analítica que está determinado únicamente por sus valores en cualquier intervalo pequeño x[ϵ,ϵ] .

Echa un vistazo a este extracto de "Matemáticas concretas" para un ejemplo (no el peor posible) de lo engañosa que puede ser la intuición de los "valores de los pequeños argumentos".

Ayuda a cultivar una actitud expansiva cuando hacemos análisis asintóticos: Deberíamos pensar en grande, al imaginar una variable que se aproxima al infinito. Por ejemplo, la jerarquía dice que lognn0.0001 esto podría parecer incorrecto si limitamos nuestros horizontes a números diminutos como un googol, n=10100 . Porque en ese caso, logn=100 mientras que n0.0001 es sólo 100.011.0233 . Pero si subimos a un googolplex, n=1010100 Entonces logn=10100 palidece en comparación con n0.0001=101096 .

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