Cómo pruebo que $S_4$ no tiene ningún subgrupo normal de orden 6

Question

Que $N$ sea un subgrupo normal de $S_4$.

Yo he demostrado que $|N|\ne 2,3,8$.

Sin embargo, no sé cómo probar que $|N|\neq 6$.

¿Debo calcular todos los subgrupos y comprobarlo?

Answer 1

Un subgrupo normal es una Unión de clases GACION, uno de los cuales debe ser el elemento de identidad.

Las clases no identidad GACION en $S_4$ tienen tamaños $3$, $6$, $6$, y $8$ y ningún subconjunto de estos números se suma al $5$.

Answer 2

Supongamos $S_4$ tiene un subgrupo normal de orden $6$ y llamar a $N$. Entonces a partir de la $|N|=6~(even)$, por lo que contiene un elemento de orden $2$ y elementos de orden $2$ $S_4$ son un ciclo de longitud $2$ o producto de dos ciclos, cada uno de longitud $2$.

Caso 1 Si contiene elemento de ciclo $2$ contendrá $\{(1~2),(1~3),(1~4),(2~3),(2~4),(3~4)\}$ debido a que todos están conjugado y $N$ es normal. Así que el fin de la $N$ debe ser mayor que $7$. lo cual es una contradicción.

Caso 2 Si contiene un elemento que es producto de dos ciclos, cada uno de longitud $2$ a continuación, contendrá $\{(1~2)(3~4),(1~3)(2~4),(1~4)(2~3)\}$ debido a que todos están conjugado y $N$ es normal. Por lo $V_4$ es normal subgrupo de $N$. Así que a partir de $Lagrange ~theorem$ $4\mid6$ lo cual es una contradicción.

Answer 3

Hay sólo dos grupos de orden $6$: $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ y $S_3$. Ya que $S_4$ no tiene ningún elemento de orden $6$, no contiene una copia de $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$. Así si $|N| = 6$, debe ser isomorfo a una copia de $S_3$; cambiarle los elementos en s.t. de $S_4$$N = \{e,(12),(13),(23),(123),(132)\}$. Sin embargo, esto no es normal como $(14)(13)(14) = (34) \notin N$.

Answer 4

Supongamos que $N$ es a subgrupo normal de orden $6$, entonces el $S_4/N \cong C_4$ o $S_4/N \cong C_2\times C_2$ ambos son abelian. Barbecho que $[S_4,S_4]=A_4 \subseteq N$

que conduce a contradicción.